几何竞赛题的特殊解法

来源:育路教育网发布时间:2011-07-26 15:17:20

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几何形体知识是小学数学的重要内容，对常规的几何题学生比较容易解答，
但是对有一定难度的竞赛题，指导学生解题时，要引导学生认真地观察图形的形
状、位置，抓住图形的主要特征，选择适当的方法进行分析，思考，从而找出解
决问题的途径。

一、等量代换法

例1 如图1 ，已知三角形ABC 的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2
倍。求阴影部分的面积。

分析从所给的条件来看，不知道△ADE 任何一条边及其所对应的高，因此很
难直接求出△ADE 的面积。只能从已知面积的部分与所求图形面积之间的关系来
着手分析。由题意可知四边形DEFC为平行四边形，所以连接E 、C 点，△DEC 的
面积为平行四边形面积的一半。根据同底等高的三角形面积相等，可知△AED 与
△DEC 的面积相等，而△DEC 的面积等于平行四边形面积的一半，因此，△ADE
的面积也等于平行四边形面积的一半。问题即可解决。

列式：56÷2 ÷2=14（平方厘米）

二、转化法

例2 如图2 ，四边形ABCD为长方形，BC=15 厘米，CD=8厘米，三角形AFB 的
面积比三角形DEF 的面积大30平方厘米，求DE的长。

（第三届小学生数学报竞赛决赛题）

分析把三角形ABF 和三角形DEF 分别加上四边形BCDF，那么它们分别转化成
长方形ABCD和三角形BCE.根据三角形ABF 比三角形DEF 的面积大30平方厘米，把
它们分别加上四边形BCDF后，即转化成长方形ABCD比三角形BCF 的面积大30平方
厘米。先求出三角形BCE 的面积，根据三角形的面积和BC的长度，求出CE的长度，
DE的长度即可求出。列式：（15×8-30）×2 ÷15-8=4（平方厘米）

三、假设法

例3 图3 中长方形的面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5 平方厘
米，右上角三角形的面积为7 平方厘米，那么中间三角形（阴影部分）的面积是
____平方厘米。

（1996年小学数学奥林匹克竞赛初赛B 卷题）

分析因为长方形的面积为35平方厘米，不妨假设AB=5厘米，AD=7厘米，因为
S △ABE=5 平方厘米，所以BE=5×2 ÷5=2 厘米，EC=7-2=5厘米，同理：DF=7×
2 ÷5=2 厘米，CF=5-2=3厘米，那么S △ECF=5 ×3 ÷2=7.5 厘米，阴影部分面
积即可求出。列式：35- （7+5+7.5 ）=15.5 （平方厘米）

四、巧用性质

例4 如图4 ，三角形ABC 是直角三角形，已知阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）

的面积小23平方厘米，BC的长度是多少？（π=3.14 ）

（北京市第三届迎春杯数学竞赛试题）

分析此题初看似乎无法解答，因为阴影部分（Ⅰ）、（Ⅱ）都是不规则图形，
但仔细观察，不难看出，阴影（Ⅰ）是半圆的一部分，阴影（Ⅱ）是三角形ABC
的一部分，根据“差不变的性质”可以把（Ⅰ）和（Ⅱ）分别加（Ⅲ），分别得
到半圆和△ABC ，它们的面积差不变，这样就可以求出三角

2 ÷20=18 （厘米）

五、参数法

例5 将图5 （a ）中的三角形纸片沿着虚线折叠的粗实图形面积（图b ）与
原三角形的面积比为2 ∶3 ，已知图（b ）中三个画阴影的三角形面积之和为1 ，
那么重叠部分的面积为______.

（1988年北京市小学数学邀请赛复赛题）

分析图b 中重叠部分是不规则的四边形，很难直接求出它的面积。从图b 中
可以观察阴影部分面积加上空白部分面积的2 倍等于原三角形的面积，实线部分
的面积应为空白部分面积加上1 ，根据这一等量关系可以列方程。设空白部分面
积为x ，（x+1 ）∶（2x+1）=2∶3 ，x=1.

六、用比例解

例6 如图6 ，四边形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四部分，已知BE=60
厘米，CE=40 厘米，DE=30 厘米，AE=80 厘米。问丙、丁两个三角形的面积之和
是甲、乙两个三角形的面积之和多少倍？（第三届华罗庚金杯赛决赛题）