一、填空题1.把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2 个，而
苹果还缺2 个，一共有_____ 个小朋友。

    2.幼儿园有糖115 颗、饼干148 块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结果
糖多出7 颗，饼干多出4 块，桔子多出2 个。这个大班的小朋友最多有_____ 人。

    3.用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样
的木板_____ 块。

    4.用长是9 厘米、宽是6 厘米、高是7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，
至少需要这种长方体木块_____ 块。

    5.一个公共汽车站，发出五路车，这五路车分别为每隔3 、5 、9 、15、10
分钟发一次，第一次同时发车以后，_____ 分钟又同时发第二次车。

    6.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12
粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得
20粒。那么平均给三群猴子，每只可得_____ 粒。

    7.这样的自然数是有的：它加1 是2 的倍数，加2 是3 的倍数，加3 是4 的
倍数，加4 是5 的倍数，加5 是6 的倍数，加6 是7 的倍数，在这种自然数中除
了1 以外最小的是_____. 8. 能被3 、7 、8 、11四个数同时整除的最大六位数
是_____. 9. 把26，33，34，35，63，85，91，143 分成若干组，要求每一组中
任意两个数的最大公约数是1 ，那么至少要分成_____ 组。

    10. 210 与330 的最小公倍数是最大公约数的_____ 倍。

    二、解答题11. 公共汽车总站有三条线路，第一条每8 分钟发一辆车，第二
条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6 ：00三条路线同时发出
第一辆车。该总站发出最后一辆车是20：00，求该总站最后一次三辆车同时发出
的时刻。

    12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12. 如果甲乙两数
的差是18，则甲数是多少？乙数是多少？

    13. 用、、分别去除某一个分数，所得的商都是整数。这个分数最小是几？

    14. 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1 号到15号，1 号同学写了一
个自然数，2 号说：" 这个数能被2 整除" ，3 号说：" 这个数能被他的编号数
整除。1 号作了检验：只有编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：
（1 ）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？

    （2 ）如果告诉你，1 号写的数是五位数，请找出这个数。

---------------答 案----------------------

    答案：1. 9若梨减少2 个，则有20-2=18 （个）；若将苹果增加2 个，则有
25+2=27 （个），这样都被小朋友刚巧分完。由此可知小朋友人数是18与27的最
大公约数。所以最多有9 个小朋友。

    2. 36 根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108 ，148-4=144
，74-2=72的最大公约数。

    所以，这个大班的小朋友最多有36人。

    3. 56 所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数，也就
是长方形木板的长和宽的公倍数，又要求最少需要多少块，所以正方形木板的边
长应是14与16的最小公倍数。

    先求14与16的最小公倍数。

    2 16 14 8 7 故14与16的最小公倍数是2 8 7=112.因为正方形的边长最小为
112 厘米，所以最少需要用这样的木板=7 8=56 （块）

    4. 5292 与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9 ，6 ，7 的最小公倍数，
9 ，6 ，7 的最小公倍数是126.所以，至少需要这种长方体木块=14 21 18=5292
（块）

    [ 注] 上述两题都是利用最小公倍数的概念进行" 拼图" 的问题，前一题是
平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广。将平
面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一。希望引起小朋友们
注意。

    5. 90 依题意知，从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3 ，5 ，9 ，
15和10的最小公倍数。

    因为3 ，5 ，9 ，15和10的最小公倍数是90，所以从第一次同时发车后90分
钟又同时发第二次车。

    6. 5依题意得花生总粒数=12 第一群猴子只数=15 第二群猴子只数=20 第三
群猴子只数由此可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60.
花生总粒数是60，120 ，180 ，……，那么第一群猴子只数是5 ，10，15，……

    第二群猴子只数是4 ，8 ，12，……

    第三群猴子只数是3 ，6 ，9 ，……

    所以，三群猴子的总只数是12，24，36，……。因此，平均分给三群猴子，
每只猴子所得花生粒数总是5 粒。

    7. 421依题意知，这个数比2 、3 、4 、5 、6 、7 的最小公倍数大1 ，2 、
3 、4 、5 、6 、7 的最小公倍数是420 ，所以这个数是421. 8. 999768由题意
知，最大的六位数是3 ，7 ，8 ，11的公倍数，而3 ，7 ，8 ，11的最小公倍数
是1848. 因为999999 1848=541 ……231 ，由商数和余数可知符合条件的最大六
位数是1848的541 倍，或者是999999与231 的差。所以，符合条件的六位数是999999-231=999768.
9. 3根据题目要求，有相同质因数的数不能分在一组，26=2 13 ，91=7 13 ，143=11
13，所以，所分组数不会小于3.下面给出一种分组方案：（1 ）26，33，35；
（2 ）34，91；（3 ）63，85，143.因此，至少要分成3 组。

    [ 注] 所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3 5，
21=3 7，35=5 7，3 ，5 ，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两
组。

    除了上述分法之外，还有多种分组法，下面再给出三种：（1 ）26，35；33，
85，91；34，63，143.（2 ）85，143 ，63；26，33，35；34，91. （3 ）26，
85，63；91，34，33；143 ，35. 10. 77根据" 甲乙的最小公倍数甲乙的最大公
约数= 甲数乙数" ，将210 330 分解质因数，再进行组合有210 330=2 3 5 7 2
3 5 11 =22 32 52 7 11 = （2 3 5 ）（2 3 5 7 11）

    因此，它们的最小公倍数是最大公约数的7 11=77 （倍）。

    11. 根据题意，先求出8 ，10，16的最小公倍数是80，即从第一次三车同时
发出后，每隔80分钟又同时发车。

    从早上6 ：00至20：00共14小时，求出其中包含多少个80分钟。

    60 14 80=10 …40分钟由此可知，20：00前40分钟，即19：20为最后一次三
车同时发车的时刻。

    12. 甲乙两数分别除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。而这两
个互质数的乘积，恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数所得的商
——12. 这一结论的根据是：（我们以" 约" 代表两数的最大公约数，以" 倍"
代表两数的最小公倍数）

    甲数乙数= 倍约= ，所以：= ， =12将12变成互质的两个数的乘积：①12=4
3 ，②12=1 12 先看①，说明甲乙两数：一个是它们最大公约数的4 倍，一个是
它们最大公约数的3 倍。

    甲乙两数的差除以上述互质的两数（即4 和3 ）之差，所得的商，即甲乙两
数的最大公约数。

    18（4-3 ）=18 甲乙两数，一个是：18 3=54 ，另一个是：18 4=72.再看②，
18（12-1）= ，不符合题意，舍去。

    13. 依题意，设所求最小分数为，则=a =b =c即 =a =b =c 其中a ，b ，c
为整数。

    因为是最小值，且a ，b ，c 是整数，所以M 是5 ，15，21的最小公倍数，
N 是28，56，20的最大公约数，因此，符合条件的最小分数： = = 14.（1 ）根
据2 号~15 号同学所述结论，将合数4 ，6 ，…，15分解质因数后，由1 号同学
验证结果，进行分析推理得出问题的结论。

    4=22，6=2 3 ，8=23，9=32，10=2 5，12=22 3 ，14=2 7，15=3 5由此不难
断定说得不对的两个同学的编号是8 与9 两个连续自然数（可逐次排除，只有8
与9 满足要求）。

    （2 ）1 号同学所写的自然数能被2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，10，11，12，
13，14，15这12个数整除，也就是它们的公倍数。它们的最小公倍数是22 3 5 7
11 13=60060 因为60060 是一位五位数，而这12个数的其他公倍数均不是五位数，
所以1 号同学写的五位数是60060.