一、填空题1.在1~100 里最小的质数与最大的质数的和是_____. 2. 小明写
了四个小于10的自然数，它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数。这四
个数是____、____、____和____. 3.把232323的全部质因数的和表示为，那么A
B AB=_____. 4.有三个学生，他们的年龄一个比一个大3 岁，他们三个人年龄数
的乘积是1620，这三个学生年龄的和是_____. 5. 两个数的和是107 ，它们的乘
积是1992，这两个数分别是_____ 和_____. 6. 如果两个数之和是64，两数的积
可以整除4875，那么这两数之差是_____. 7. 某一个数，与它自己相加、相减、
相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____. 8. 有10个数：
21、22、34、39、44、45、65、76、133 和153.把它们编成两组，每组5 个数，
要求这组5 个数的乘积等于那组5 个数的乘积。第一组数____________；第二组
数是____________. 9.有_____ 个两位数，在它的十位数字与个位数字之间写一
个零，得到的三位数能被原两位数整除。

    10. 主人对客人说：" 院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之
和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？" 客人想
了一下说：" 我还不能确定答案。" 他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说
：" 有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。" 主人家的楼号是_____ ，孩子
的年龄是_____.

    二、解答题11. 甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。甲说：
" 两个质数之和一定是质数".乙说：" 两个质数之和一定不是质数".丙说：" 两
个质数之和不一定是质数".他们当中，谁说得对？

    12. 下面有3 张卡片 3， 2， 1，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序
排起来，得到不同的一位数、两位数、三位数。把所得数中的质数写出来。

    13. 在100 以内与77互质的所有奇数之和是多少？

    14. 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是"0" （脱靶），或者是不超
过10的自然数。甲、乙两名运动员各射了5 箭，每人5 箭得到环数的积都是1764，
但是甲的总环数比乙少4 环。求甲、乙的总环数。

---------------答 案----------------------

    答案：1. 99 100 ，98是偶数，99是3 倍数，从而知97是1~100 中最大的质
数，又最小的质数是2 ，所以最小的质数与最大的质数的和是99. 2. 3，3 ，5 ，
8 根据这四个数中只有一个是合数，可知其他三个数是质数，将360 分解质因数
得：360=2 2 2 5 3 3 所以，这四个数是3 ，3 ，5 和8. 3. 1992依题意，将232323
分解质因数得232323=23 10101 =23 3 7 13 37 从而，全部不同质因数之和=23+3+7+13+37=83
所以，A B =8 3 83=1992. 4. 36 岁根据三个学生的年龄乘积是1620的条件，先
把1620分解质因数，然后再根据他们的年龄一个比一个大3 岁的条件进行组合。

    1620=2 2 3 3 3 3 5 =9 12 15 所以，他们年龄的和是9+12+15=36（岁）

    5. 83 ，24先把1992分解质因数，再根据两个数的和是107 进行组合1992=2
2 2 3 83 =24 83 24+83=107 所以，这两个数分别是83和24. 6. 14 根据两数之
积能整除4875，把4875分解质因数，再根据两数之和为64进行组合。

    4875=3 5 5 5 13 = （3 13）（5 5 ） 5 =（39 25 ） 5由此推得这两数为
39和25. 它们的差是39-25=14. 7. 15 解法一因为相同两数相加之和为原数的2
倍，相减之差为零，相乘之积为原数乘以原数，相除之商为1.所以原数的2 倍加
上原数乘以原数应是256-1=255.把255 分解质因数得：255=3 5 17 =3 5 （15+2）

    =15 2+15 15 所以，这个数是15. 解法二依题意，原数的2 倍+0+ 原数原数
+1=256，即原数的2 倍+ 原数原数=256-1原数的2 倍+ 原数原数=255把255 分解
质因数得255=3 5 17 =15（15+2）

    =15 2+15 15 所以，这个数是15. 8. 21 、22、65、76、153 ；34、39、44、
45、133.先把10个数分别分解质因数，然后根据两组中所包含质因数必须相等把
这10个数分成两组：21=3 7 22=2 11 34=2 17 39=3 13 44=2 2 11 45=3 3 5 65=5
13 76=2 2 19 133=7 19 153=3 3 17由此可见，这10个数中质因数共有6 个2 ，
6 个3 ，2 个5 ，2 个7 ，2 个11，2 个13，2 个17，2 个19. 所以，每组数中
应包含3 个2 ，3 个3 ，5 、7 、11、13、17和19各一个。于是，可以这样分组
：第一组数是：21、22、65、76、153 ；第二组数是：34、39、44、45、133. [
注] 若将分为两组拓广分为三组，则得到一个类似的问题（1990年宁波市江北区
小学五年级数学竞赛试题）：把20，26，33，35，39，42，44，55，91等九个数
分成三组，使每组的数的乘积相等。

    答案是如下分法即可：第一组：20，33，91；第二组：44，35，39；第三组
：26，42，55.

    9. 12 设这样的两位数的十位数字为A ，个位数字为B ，由题意依据数的组
成知识，可知100A+B能被10A+B 整除。

    因为100A+B=90A+ （10A+B ），由数的整除性质可知90A 能被10A+B 整除。
这样只要把90A 分解组合，就可以推出符合条件的两位数。

    90A=2 32 5 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 90A 10 9 15 6 18 5 20 9 30 9 40 9
45 8 50 9 60 9 70 9 80 9 90 9

    10，15 18 20 30 40，45 50 60 70 80 90 所以，符合条件的两位数共12个。

    10. 14；3 岁，3 岁，8 岁因为三个孩子年龄的积是72，所以，我们把72分
解为三个因数（不一定是质因数）的积，因为小孩的年龄一般是指不超过15岁，
所以所有不同的乘积式是72=1 6 12=1 8 9 =2 3 12=2 4 9 =2 6 6=3 3 8 =3 4
6 三个因数的和分别为：19、18、17、15、14、14、13. 其中只有两个和是相等
的，都等于14.14 就是主人家的楼号。如果楼号不是14，客人马上可以作出判断。
反之客人无法作出判断，说明楼号正是14. 亦即三个孩子年龄的和为14. 此时三
个孩子的年龄有两种可能：2 岁、6 岁、6 岁；或3 岁、3 岁、8 岁。当他看到
有两个孩子很小时，就可以断定这三个孩子的年龄分别是3 岁、3 岁、8 岁。主
人家的楼号是14号。

    11. 因为两个质数之和可能是质数如2+3=5 ，也可能是合数如3+5=8 ，因此
甲和乙的说法是错误的，只有丙说得对。

    12. 从三张卡片中任抽一张，有三种可能，即一位数有三个，分别为1 、2 、
3 ，其中只有2 、3 是质数。

    从三张卡片中任抽二张，组成的两位数共六个。但个位数字是2 的两位数和
个位与十位上数字之和是3 的倍数的两位数，都不是质数。所以，两位数的质数
只有13，23，31. 因为1+2+3=6 ，6 能被3 整除，所以由1 、2 、3 按任意次序
排起来所得的三位数，都不是质数。

    故满足要求的质数有2 、3 、13、23、31这五个。

    [ 注] 这里采用边列举、边排除的策略求解。在抽二张卡片时，也可将得到
六个两位数全部列举出来：12，13，21，23，31，32. 再将三个合数12，21，32
排除即可。

    13. 100 以内所有奇数之和是1+3+5+…+99=2500，从中减去100 以内奇数中
7 的倍数与11的倍数之和7 （1+3+…+13 ）+11 （1+3+…+9）

    =618，最后再加上一个7 11=77 （因为上面减去了两次77），所以最终答数
为2500-618+77=1959. [ 注] 上面解题过程中100 以内奇数里减去两个不同质数
7 与11的倍数，再加上一个公倍数7 11，这里限定在100 以内，如果不是100 以
内，而是1000以内或更大的数时，减去的倍数就更多些而返回加上的公倍数有7
11的1 倍，3 倍，…也更多些，这实质上是" 包含与排除" 的思路。

    14. 依题意知，每射一箭的环数，只能是下列11个数中的一个0 ，1 ，2 ，
3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，10. 而甲、乙5 箭总环数的积1764 0，这说明在
甲、乙5 箭得到的环数里没有0 和10. 而1764=1 2 2 3 3 7 7是由5 箭的环数乘
出来的，于是推知每人有两箭中的环数都是7 ，从而可知另外3 箭的环数是5 个
数1 ，2 ，2 ，3 ，3 经过适当的分组之后相乘而得到的，可能的情形有5 种：
（1 ）1 ，4 ，9 ；（2 ）1 ，6 ，6 ；（3 ）2 ，2 ，9 ；（4 ）2 ，3 ，6
；（5 ）3 ，3 ，4.因此，两人5 箭的环数有5 种可能：7 ，7 ，1 ，4 ，9 和
是28；7 ，7 ，1 ，6 ，6 和是27；7 ，7 ，2 ，2 ，9 和是27；7 ，7 ，2 ，
3 ，6 和是25；7 ，7 ，3 ，3 ，4 和是24. ∵甲、乙的总环数相差4 ，甲的总
环数少。

    ∴甲的总环数是24，乙的总环数是28.