一、填空题1.在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____ ；既不是合
数又不是质数的有_____ ；既是偶数又是质数的有_____. 2. 最小的质数与最接
近100 的质数的乘积是_____. 3. 两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自
然数的积是_____. 4. 在下式样□中分别填入三个质数，使等式成立。

    □+ □+ □=50 5.三个连续自然数的积是1716，这三个自然数是_____ 、_____、
_____. 6. 找出1992所有的不同质因数，它们的和是_____. 7. 如果自然数有四
个不同的质因数，那么这样的自然数中最小的是_____. 8. 9216可写成两个自然
数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____. 9. 从一块正方形的木板上锯下
宽为3 分米的一个木条以后，剩下的面积是108 平方分米。木条的面积是_____
平方分米。

    10. 今有10个质数：17，23，31，41，53，67，79，83，101 ，103.如果将
它们分成两组，每组五个数，并且每组的五个数之和相等，那么把含有101 的这
组数从小到大排列，第二个数应是_____.

    二、解答题11.2，3 ，5 ，7 ，11，…都是质数，也就是说每个数只以1 和
它本身为约数。已知一个长方形的长和宽都是质数个单位，并且周长是36个单位。

    问这个长方形的面积至多是多少个平方单位？

    12. 把7 、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积
相等。

    13. 学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100 至200
之间，问哪几种分法？

    14. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其他各瓶分别合称一
次，记录千克数如下：8 、9 、10、11、12、13. 已知四只空瓶的重量之和以及
油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？

---------------答 案----------------------

    答案：1. 9，1 ，2 在一位自然数中，奇数有：1 ，3 ，5 ，7 ，9 ，其中
仅有9 为合数，故第一个空填9.在一位自然数中，质数有2 、3 、5 、7 ，合数
有4 、6 、8 、9 ，所以既不是合数又不是质数的为1.又在一位自然数中，偶数
有2 、4 、6 、8 ，所以既是偶数又是质数的数为2. 2. 202 最小的质数是2 ，
最接近100 的质数是101 ，它们的乘积是2 101=202. 3. 420 首先注意到41是质
数，两个自然数的和与差的积是41，可见它们的差是1 ，这是两个连续的自然数，
大数是21，小数是20，所以这两个自然数的积是20 21=420. 4. 2 、5 、43接近
50的质数有43，再将7 分拆成质数2 与质数5 的和。即2+5+43=50 另外，还有2+19+29=50
2+11+37=50 [注] 填法不是唯一的。如也可以写成41+2+7=50 5. 11 ，12，13将
1716分解质因数得1716=2 2 3 11 13 =11（2 2 3 ） 13 由此可以看出这三个数
是11，12，13. 6. 88 先把1992分解质因数，然后把不同质数相加，求出它们的
和。

    1992=2 2 2 3 83 所以1992所有不同的质因数有：2 ，3 ，83. 它们的和是
2+3+83=88. 7. 210 最小的四个质数是2 ，3 ，5 ，7 ，所以有四个不同质因数
的最小自然数是2 3 5 7=210 8. 192先把9216分解质因数，然后再用" 试验法"
解答9216=2 2… 2 3 3 10 个=96 96欲使这两个自然数的和最小，可使两数相等，
所以这两个质因数的和最小为96+96=192. 9. 36如下图所示，要求木条的面积，
必须知道正方形木板的边长。把108 分解质因数。

    108 （cm2 ）

    平方分米3 分米108=2 2 3 3 3 =12 9 由此可见，9 加3 正好等于12，所以
正方形木板边长是12分米。所以，木条面积是12 3=36 （平方分米）

    10. 31这10个质数之和是598 ，分成两组后，每组五个数之和是598 2=299.
在有79这组数中，其他四个质数之和是299-79=220，个位数是0 ，因此这四个质
数的个位数可能有三种情形：（1 ）三个1 和一个7 ；（2 ）二个3 和二个7 ；
（3 ）三个3 和一个1. 31+41+101=173，220-173=47，可这十个数中没有47，情
形（1 ）被否定。

    17+67=84，220-84=136，个位数为3 有23，53，83，只有53+83=136 ，因此
从情形（2 ）得到一种分组：17，53，67，79，83和23，31，41，101 ，103.所
以，含有101 这组数中，从小到大排列第二个数是31. [ 注] 从题目本身的要求
来说，只要找出一种分组就可以了，但从情形（3 ）还可以得出另一种分组。23+53+83+103=262，
262-220=42，我们能否从53，83，103 中找出一个数，用比它少42的数来代替呢？

    53-42=11，83-42=41，103-42=61.这十个数中没有11和61，只有41. 又得到
另一种分组：23，41，53，79，103 和17，31，67，83，101.由此可见，不论哪
一种分组，含101 这组数中，从小到大排列，第二个数都是31. 11. 由于长+ 宽
是 36 2=18将18表示为两个质数和 18=5+13=7+11 所以长方形的面积是 5 13=65
或7 11=77 故长方形的面积至多是77平方单位。

    12. 先把14，20，21，28，30分解质因数，看这六个数中共有哪几个质因数，
再分摊在两组中，使两组数乘积相等。

    14=7 2 20=2 2 5 21=3 7 28=2 2 7 30=2 3 5 7从上面五个数分解质因数来
看，连7 在内共有质因数四个7 ，六个2 ，二个3 ，二个5 ，因此每组数中一定
要含三个2 ，一个3 ，一个5 ，二个7.六个数可分成如下两组（分法是唯一的）

    ：第一组： 7、28、和30第二组：14、21和20且7 28 30=14 21 20=5880 满
足要求。

    [ 注] 解答此题的关键是审题，抓住题目中的关键性词语：" 使两组数的乘
积相等".实质上是要求两组里所含质因数相同，相同的质因数出现的次数也相同。

    13. 把1430分解质因数得1430=2 5 11 13根据题目的要求，应在2 、5 、11
及13中选用若干个数，使它们的乘积在100 到200 之间，于是得三种答案：（1 ）

    2 5 11=110；（2 ）2 5 13=130；（3 ）11 13=143.所以，有三种分法：一
种是分为13队，每队110 人；二是分为11队，每队130 人；三是分为10队，每队
143 人。

    14. 由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4 瓶油（连瓶）重量之和的
3 倍，即4 瓶油（加瓶）共重（8+9+10+11+12+13 ） 3=21 （千克）

    而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数
的质数只有2 ，故有（1 ）油重之和为19千克，瓶重之和为2 千克，每只瓶重千
克，最重的两瓶内的油为13- 2=12（千克）。

    （2 ）油重之和为2 千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶
内的油为13- 2=（千克），这与油重之和为2 千克矛盾，不合要求，删去。