一、填空题1.一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是_____
或_____. 2. 123456789 □□，这个十一位数能被36整除，那么这个数的个位上
的数最小是_____. 3. 下面一个1983位数33…3 □44…4 中间漏写了一个数字
（方框），已知这991 个 991个个多位数被7 整除，那么中间方框内的数字是_____.
4.有三个连续的两位数，它们的和也是两位数，并且是11的倍数。这三个数是_____.
5.有这样的两位数，它的两个数字之和能被4 整除，而且比这个两位数大1 的数，
它的两个数字之和也能被4 整除。所有这样的两位数的和是____. 6.一个小于200
的自然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积，那么这个自然
数是_____. 7. 任取一个四位数乘3456，用A 表示其积的各位数字之和，用B 表
示A 的各位数字之和，C 表示B 的各位数字之和，那么C 是_____. 8. 有0 、1 、
4 、7 、9 五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3
整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____. 9. 从0 、1 、
2 、4 、5 、7 中，选出四个数，排列成能被2 、3 、5 整除的四位数，其中最
大的是_____. 10.所有数字都是2 且能被66……6 整除的最小自然数是_____ 位
数。

    100 个

    二、解答题11. 找出四个互不相同的自然数，使得对于其中任何两个数，它
们的和总可以被它们的差整除，如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽
可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是多少？

    12. 只修改21475 的某一位数字，就可知使修改后的数能被225 整除，怎样
修改？

    13.500名士兵排成一列横队。第一次从左到右1 、2 、3 、4 、5 （1 至5 ）
名报数；第二次反过来从右到左1 、2 、3 、4 、5 、6 （1 至6 ）报数，既报
1 又报6 的士兵有多少名？

    14. 试问，能否将由1 至100 这100 个自然数排列在圆周上，使得在任何5
个相连的数中，都至少有两个数可被3 整除？如果回答：" 可以" ，则只要举出
一种排法；如果回答：" 不能" ，则需给出说明。

---------------答 案----------------------

    1. 2620 或2711一个数如果是88的倍数，这个数必然既是8 的倍数，又是11
的倍数。根据8 的倍数，它的末三位数肯定也是8 的倍数，从而可知这个六位数
个位上的数是0 或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0 或11的倍数，从已知
的四个数看，这个六位数奇偶位上数字的和是相等的，要使奇偶位上数字和差为
0 ，两个方框内填入的数字是相同的，因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或
23 8 56 8 又 230560 88=2620 238568 88=2711所以，本题的答案是2620或2711.

    2. 0因为36=9 4，所以这个十一位数既能被9 整除，又能被4 整除。因为1+2+
…+9=45 ，由能被9 整除的数的特征，（可知□+ □之和是0 （0+0 ）、9 （1+8
，8+1，2+7 ，7+2 ，3+6 ，6+3 ，4+5 ，5+4 ）和18（9+9 ）。再由能被4 整除
的数的特征：这个数的末尾两位数是4 的倍数，可知□□是00，04，…，36，…，
72，…96. 这样，这个十一位数个位上有0 ，2 ，6 三种可能性。

    所以，这个数的个位上的数最小是0.

    3. 6 33 …3 □44…4 991 个 991个=33 …3 10993+3 □4 10990+44…4 990
个 990个因为111111能被7 整除，所以33…3 和44…4 都能被7 整除，所以只要
990 个 990个3 □4 能被7 整除，原数即可被7 整除。故得中间方框内的数字是
6.

    4. 10 ，11，12或21，22，23或32，33，34. 三个连续的两位数其和必是3
的倍数，已知其和是11的倍数，而3 与11互质，所以和是33的倍数，能被33整除
的两位数只有3 个，它们是33、66、99. 所以有当和为33时，三个数是10，11，
12；当和为66时，三个数是21，22，23；当和为99时，三个数是32，33，34. [
注]"三个连续自然数的和必能被3 整除" 可证明如下：设三个连续自然数为n ，
n+1 ，n+2 ，则n+（n+1 ）+ （n+2 ）

    =3n+3 =3（n+1 ）

    所以，能被3 整除。

    5. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4 整除，而且比这个两位数大
1 的数，如果十位数不变，则个位增加1 ，其和便不能整除4 ，因此个位数一定
是9 ，这种两位数有：39、79. 所以，所求的和是39+79=118.

    6. 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且15 15=225>200 ，所以
其中至少有1 个因数小于15，而且这些因数均需是奇数，但11不可能符合条件，
因为对于小于200 的自然数凡11的倍数，具有隔位数字之和相等的特点，个位百
位若是奇数，十位必是偶数。所以只需检查13的倍数中小于200 的三位数13 13=169
不合要求，13 15=195 适合要求。所以，答案应是195.

    7. 9根据题意，两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能。

    因为3456=384 9，所以任何一个四位数乘3456，其积一定能被9 整除，根据
能被9 整除的数的特征，可知其积的各位数字之和A 也能被9 整除，所以A 有以
下八种可能取值：9 ，18，27，36，45，54，63，72. 从而A 的各位数字之和B
总是9 ，B 的各位数字之和C 也总是9.

    8. 9∵0+1+4+7+9=21能被3 整除，∴从中去掉0 或9 选出的两组四个数字组
成的四位数能被3 整除。即有0 ，1 ，4 ，7 或1 ，4 ，7 ，9 两种选择组成四
位数，由小到大排列为：1047，1074，1407，1470，1479，1497…。所以第五个
数的末位数字是9.

    9. 7410 根据能被2 、3 、5 、整除的数的特征，这个四位数的个位必须是
0 ，而十位、百位、千位上数字的和是3 的倍数。

    为了使这个四位数尽可能最大，千位上的数字应从所给的6 个数字中挑选最
大的一个。从7 开始试验，7+4+1=12，其和是3 的倍数，因此其中最大的数是7410.

    10. 300 ∵66…6=2 3 11…1 100 个 100个显然连续的2 能被2 整除，而要
被3 整除，2 的个数必须是3 的倍数，又要被11…1 整除，2 的个数必须是100
的倍数，所以，最少要有300 个连续的2 方能满100 个足题中要求。答案应填300.

    11. 如果最小的数是1 ，则和1 一起能符合" 和被差整除" 这一要求的数只
有2 和3 两数，因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2 、3 、4 、5 这四
个数，仍不符合要求，因为5+2=7 ，不能被5-2=3 整除。再往下就是2 、3 、4 、
6 ，经试算，这四个数符合要求。所以，本题的答案是（3+4 ）=7.

    12. 因为225=25 9，要使修改后的数能被25整除，就要既能被25整除，又能
被9 整除，被25整除不成问题，末两位数75不必修改，只要看前三个数字即可，
根据某数的各位数字之和是9 的倍数，则这个数能被9 整除的特征，因为2+1+4+7+5=19，
19=18+1 ，19=27-8 ，所以不难排出以下四种改法：把1 改为0 ；把4 改为3 ；
把1 改为9 ；把2 改为1.

    13. 若将这500 名士兵从右到左依次编号，则第一次报数时，编号能被5 整
除的士兵报1 ；第二次报数时，编号能被6 整除的士兵报6 ，所以既报1 又报6
的士兵的编号既能被5 整除又能被6 整除，即能被30整除，在1 至500 这500 个
自然数中能被30整除的数共有16个，所以既报1 又报6 的士兵共有16名。

    14. 不能。

    假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100 个数，我们来按所排列顺序
将它们每5 个分为一组，可得20组，其中每两组都没有共同的数，于是，在每一
组的5 个数中都至少有两个数是3 的倍数。从而一共有不少于40个数是3 的倍数。
但事实上，在1 至100 的自然数中有33个数是3 的倍数，导致矛盾。