一、填空题1.28的所有约数之和是_____. 2. 用105 个大小相同的正方形拼
成一个长方形，有_____ 种不同的拼法。

    3.一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的约数，十位数字与个位数字
的积是24. 这个两位数是_____. 4. 李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平
均分成四个小组，总共种树667 棵，如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班
共有学生_____ 人。

    5.两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5 ，则这两个数的差是_____.
6.现有梨36个，桔108 个，分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等，
最多可分给_____ 个小朋友，每个小朋友得梨_____ 个，桔_____ 个。

    7.一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片
_____ 块。

    8.长180 厘米，宽45厘米，高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块
（不余料）_____ 块。

    9.张师傅以1 元钱3 个苹果的价格买苹果若干个，又以2 元钱5 个苹果的价
格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果_____ 个。

    10. 含有6 个约数的两位数有_____ 个。

    11. 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1 ，但两两均不互质，
请问有多少组这种解？

    12. 和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？

    13. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每
秒钟都只跳一次。比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷井，当它们之中有一
个掉进陷井时，另一个跳了多少米？

    14. 已知a 与b 的最大公约数是12，a 与c 的最小公倍数是300 ，b 与c 的
最小公倍数也是300 ，那么满足上述条件的自然数a ，b ，c 共有多少组？

    （例如：a=12、b=300 、c=300 ，与a=300 、b=12、c=300 是不同的两个自
然数组）

---------------答 案----------------------

    答案：1. 56 28的约数有1 ，2 ，4 ，7 ，14，28，它们的和为1+2+4+7+14+28=56.
2. 4因为105 的约数有1 ，3 ，5 ，7 ，15，21，35，105 能拼成的长方形的长
与宽分别是105 和1 ，35和3 ，21与5 ，15与7.所以能拼成4 种不同的长方形。

    3. 64 因为28=2 2 7，所以28的约数有6 个：1 ，2 ，4 ，7 ，14，28. 在
数字0 ，1 ，2 ，…，9 中，只有6 与4 之积，或者8 与3 之积是24，又6-4=2 ，
8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64. 4. 28 因为667=23 29 ，所以这班师生
每人种的棵数只能是667 的约数：1 ，23，29，667.显然，每人种667 棵是不可
能的。

    当每人种29棵树时，全班人数应是23-1=22 ，但22不能被4 整除，不可能。

    当每人种23棵树时，全班人数应是29-1=28 ，且28恰好是4 的倍数，符合题
目要求。

    当每人种1 棵树时，全班人数应是667-1=666 ，但666 不能被4 整除，不可
能。

    所以，一班共有28名学生。

    5. 40 或20两个自然数的和是50，最大公约数是5 ，这两个自然数可能是5
和45，15和35，它们的差分别为（45-5= ）40，（35-15=）20，所以应填40或20.
[ 注] 这里的关键是依最大公约数是5 的条件，将50分拆为两数之和：50=5+45=15+35.
6. 36 ，1 ，3.要把梨36个、桔子108 个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨
数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的约数，又要是108 的约数，即一定是36
和108 的公约数。因为要求最多可分给多少个小朋友，可知小朋友的人数是36和
108 的最大公约数。36和108 的最大公约数是36，也就是可分给36个小朋友。

    每个小朋友可分得梨： 36 36=1（只）

    每个小朋友可分得桔子： 108 36=3 （只）

    所以，最多可分得36个小朋友，每个小朋友可分得梨1 只，桔子3 只。

    7. 56 剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米，
所以它是48与42的公约数，题目又要求剪出的正方形最大，故正方形的边长是48
与42的最大公约数。

    因为48=2 2 2 2 3，42=2 3 7，所以48与42的最大公约数是6.这样，最大正
方形的边长是6 厘米。由此可按如下方法来剪：长边每排剪8 块，宽边可剪7 块，
共可剪（48 6）（42 6）=8 7=56 （块）正方形布片。

    8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除，即
正方体的棱长是180 ，45和18的公约数。为了使正方体木块尽可能大，正方体的
棱长应是180 、45和18的最大公约数。180 ，45和18的最大公约数是9 ，所以正
方体的棱长是9 厘米。这样，长180 厘米可公成20段，宽45厘米可分成5 段，高
18厘米可分成2 段。这根木料共分割成（180 9 ）（45 9）（18 9）=200块棱长
是9 厘米的正方体。

    9. 150根据3 与5 的最小公倍数是15，张老师傅以5 元钱买进15个苹果，又
以6 元钱卖出15个苹果，这样，他15个苹果进与出获利1 元。所以他获利10元必
须卖出150 个苹果。

    10. 16含有6 个约数的数，它的质因数有以下两种情况：一是有5 个相同的
质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M 表示含有
6 个约数的数，用a 和b 表示M 的质因数，那么或因为M 是两位数，所以M= a5
只有一种可能M=25，而M= a2 b 就有以下15种情况：，。

    所以，含有6 个约数的两位数共有15+1=16 （个）

    11. 三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公约数只
能分别是2 ，3 和5 ，这种自然数有6 ，10，15和12，10，15及18，10，15三组。

    12. 四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大公
约数应该是1111的约数。将1111作质因数分解，得1111=11 101 最大公约数不可
能是1111，其次最大可能数是101.若为101 ，则将这四个数分别除以101 ，所得
商的和应为11. 现有1+2+3+5=11，即存在着下面四个数101 ，101 2 ，101 3 ，
101 5 ，它们的和恰好是101 （1+2+3+5 ）=101 11=1111，它们的最大公约数为
101.所以101 为所求。

    13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是与的" 最小公倍数" ，即跳了 =9
次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是和的" 最小公倍数" ，即跳了 =11
次掉进陷井。

    经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是 9=40.5 （米）。

    14. 先将12、300 分别进行质因数分解：12=22 3 300=22 3 52 （1 ）确定
a 的值。依题意a 只能取12或12 5（=60 ）或12 25 （=300）。

    （2 ）确定b 的值。

    当a=12时，b 可取12，或12 5，或12 25 ；当a=60，300 时，b 都只能取12.
所以，满足条件的a 、b 共有5 组：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300 b=12， b=60 ，
b=300 ， b=12 ， b=12.（3 ）确定a ，b ，c 的组数。

    对于上面a 、b 的每种取值，依题意，c 均有6 个不同的值：52，52 2，52
22，52 3，52 2 3，52 22 3 ，即25，50，100 ，75，150 ，300.所以满足条件
的自然数a 、b 、c 共有5 6=30（组）