一、同余的定义：

    ①若两个整数a 、b 除以m 的余数相同，则称a 、b 对于模m 同余。

    ②已知三个整数a 、b 、m ，如果m|a-b ，就称a 、b 对于模m 同余，记作
a ≡b （mod m ），读作a 同余于b 模m.

    二、同余的性质：

    ①自身性：a ≡a （mod m ）；

    ②对称性：若a ≡b （mod m ），则b ≡a （mod m ）；

    ③传递性：若a ≡b （mod m ），b ≡c （mod m ），则a ≡ c（mod m ）

    ；

    ④和差性：若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），则a+c ≡b+d （mod
m ），a-c ≡b-d （mod m ）；

    ⑤相乘性：若a ≡ b（mod m ），c ≡d （mod m ），则a ×c ≡ b×d
（mod m ）；

    ⑥乘方性：若a ≡b （mod m ），则an≡bn（mod m ）；

    ⑦同倍性：若a ≡ b（mod m ），整数c ，则a ×c ≡ b×c （mod m ×c ）

    ；

    三、关于乘方的预备知识：

    ①若A=a ×b ，则MA=Ma ×b=（Ma）b

    ②若B=c+d 则MB=Mc+d=Mc×Md

    四、被3 、9 、11除后的余数特征：

    ①一个自然数M ，n 表示M 的各个数位上数字的和，则M ≡n （mod 9 ）或
（mod 3 ）；

    ②一个自然数M ，X 表示M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示M 的各个偶数
数位上数字的和，则M ≡Y-X 或M ≡11- （X-Y ）（mod 11）；

    五、费尔马小定理：

    如果p 是质数（素数），a 是自然数，且a 不能被p 整除，则ap-1≡1 （mod
p ）。