一、填空题1.对于324 和612 ，把第一个数加上3 ，同时把第二个数减3 ，
这算一次操作，操作_____ 次后两个数相等。

    2.对自然数n ，作如下操作：各位数字相加，得另一自然数，若新的自然数
为一位数，那么操作停止，若新的自然数不是一位数，那么对新的自然数继续上
面的操作，当得到一个一位数为止，现对1 ，2 ，3 …，1998如此操作，最后得
到的一位数是7 的数一共有_____ 个。

    3.在1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，…，59，60这60个数中，第一次从左向右划去奇
数位上的数；第二次在剩下的数中，再从左向右划去奇数位上的数；如此继续下
去，最后剩下一个数时，这个数是_____. 4. 把写有1 ，2 ，3 ，…，25的25张
卡片按顺序叠齐，写有1 的卡片放在最上面，下面进行这样的操作：把第一张卡
片放到最下面，把第二张卡片扔掉；再把第一张卡片放到最下面，把第二张卡片
扔掉；…按同样的方法，反复进行多次操作，当剩下最后一张卡片时，卡片上写
的是_____. 5. 一副扑克共54张，最上面的一张是红桃K.如果每次把最上面的4
张牌，移到最下面而不改变它们的顺序及朝向，那么，至少经过_____ 次移动，
红桃K 才会出现在最上面。

    6.写出一个自然数A ，把A 的十位数字与百位数字相加，再乘以个位数字，
把所得之积的个位数字续写在A 的末尾，称为一次操作。

    如果开始时A=1999，对1999进行一次操作得到19992 ，再对19992 进行一次
操作得到199926，如此进行下去直到得出一个1999位数为止，这个1999位数的各
位数字之和是_____. 7. 黑板上写有1987个数：1 ，2 ，3 ，…，1986，1987.
任意擦去若干个数，并添上被擦去的这些数的和被7 除的余数，称为一个操作。
如果经过若干次这种操作，黑板上只剩下了两个数，一个是987 ，那么，另一个
数是_____. 8. 下图中有5 个围棋子围成一圈。现在将同色的两子之间放入一个
白子，在异色的两子之间放入一个黑子，然后将原来的5 个拿掉，剩下新放入的
5 个子中最多能有_____ 个黑子。

    9.在圆周上写上数1 ，2 ，4 然后在每两个相邻的数之间写上它们的和（于
是共得到6 个数：1 ，3 ，2 ，6 ，4 ，5 ）再重复这一过程5 次，圆周上共出
现192 个数，则所有这些数的和是_____. 10.在黑板上任意写一个自然数，然后
用与这个自然数互质并且大于1 的最小自然数替换这个数，称为一次操作，那么
最多经过_____ 次操作，黑板上就会出现2.

    二、解答题11. 甲盒中放有1993个白球和1994个黑球，乙盒中放有足够多个
黑球。现在每次从甲盒中任取两球放在外面，但当被取出的两球同色时，需从乙
盒中取出一个黑球放入甲盒；当被取出的两球异色时，便将其中的白球再放回甲
盒，这样经过3985次取、放之后，甲盒中剩下几个球？各是什么颜色的球？

    12. 如图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上，开始时，圆盘上每个数字所对
应的黑板处均写着0 ，然后转动圆盘，每次可以转动的任意整数倍，圆盘上的四
个数将分别正对着黑板上写数的位置。将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上，
问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是1999？

    13. 有三堆石子，每次允许由每堆中拿掉一个或相同数目的石子（每次这个
数目不一定相同），或由任一堆中取一半石子（如果这堆石子是偶数个）放入另
外任一堆中，开始时三堆石子数分别为1989，989 ，89. 如按上述方式进行操作，
能否把这三堆石子都取光？如行，请设计一种取石子的方案，如不行，说明理由。

    14. 如图，圆周上顺次排列着1 、2 、3 、……、12这十二个数，我们规定
：相邻的四个数a1、a2、a3、a4顺序颠倒为a4、a3、a2、a1，称为一次" 变换"
（如：1 、2 、3 、4 变为4 、3 、2 、1 ，又如：11、12、1 、2 变为2 、1 、
12、11）。能否经过有限次" 变换" ，将十二个数的顺序变为9 、1 、2 、3 、
……8 、10、11、12（如图）？请说明理由。

---------------答 案----------------------

    1. 48 每操作一次，两个数的差减少6 ，经（612-324 ） 6=48 次操作后两
个数相等。

    2. 222由于操作后所得到的数与原数被9 除所得的余数相同，因此操作最后
为7 的数一定是原数除以9 余7 的数，即7 ，16，25，…，1996，一共有（1996-7）
9+1=222 （个）

    3. 32 第一次操作后，剩下2 ，4 ，6 ，…，60这30个偶数；第二次操作后，
剩下4 ，8 ，12，…，60这15个数（都是4 的倍数）；第三次操作后，剩下8 ，
16，24，…，56这7 个数（都是8 的倍数）；第四次操作后，剩下16，32，48这
3 个数；第五次操作后，剩下一个数，是32. 4. 19 第一轮操作，保留1 ，3 ，
5 ，…，25共13张卡片；第二轮保留3 ，7 ，11，15，19，23这6 张卡片；第三
轮保留3 ，11，19这3 张卡片；接着扔掉11，3 ；最后剩下的一张卡片是19. 5.
27次因为[54 ，4]=108，所以移动108 张牌，又回到原来的状况。又因为每次移
动4 张牌，所以至少移动108 4=27（次）。

    6. 66 按照操作的规则，寻找规律知，A=1999时得到的1999位数为：1999266864600
…0.其各位数字和为1+9+9+9+2+6+6+8+6+4 +6=66 7. 0黑板上的数的和除以7 的
余数始终不变。

    （1+2+3+…+1987 ） 7=282154 又1+2+3+…+1987= =1987 994=1987 142 7
是7 的倍数。

    所以黑板上剩下的两个数之和为7 的倍数。

    又987=7 141 是7 的倍数，所以剩下的另一个数也应是7 的倍数，又这个数
是某些数的和除以7 的余数，故这个数只能是0. 8. 4 个提示：因为5 个子不可
能黑白相间，所以永远不会得到5 个全是黑子。

    9. 5103 记第i 次操作后，圆周上所有数的和为ai，依题意，得ai+1=2ai+ai=3ai.
又原来三数的和为a0=1+2+4=7，所以a1=3a0=21 ，a2=3a1=63 ，a3=3a2=189，a4=3a3=567，
a5=3a4=1701 ，a6=3a5=5103 ，即所有数的和为5103. 10. 2 如果写的是奇数，
只需1 次操作；如果写的是大于2 的偶数，经过1 次操作变为奇数，再操作1 次
变为2. 11.由操作规则知，每次操作后，甲盒中球数减少一个，因此经过3985次
操作后，甲盒中剩下1993+1994-3985=2个球。

    每次操作白球数要么不变，要么减少2 个。因此，每次操作后甲盒中白球数
的奇偶性不变；即白球数为奇数。因此最后剩下的2 个球中，白球1 个，故另一
个必为黑球。

    12. 每次加上的数之和是1+2+3+4=10，所以黑板上的四个数之和永远是10的
整数倍。因此，无论如何操作，黑板上的四个数不可能都是1999. 13. 要把三堆
石子都取光是不可能的。

    按操作规则，每次拿出去的石子总和是3 的倍数，即不改变石子总数被3 除
的余数。而1989+989+89=3067被3 除余1 ，三堆石子取光时总和被3 除余0.所以，
三堆石子都取光是办不到的。

    14. 能

    解：如上图所示，经过两次变换，10、11、12三个数被顺时针移动了两个位
置。仿此，再经过3 次这样的两次变换，10、11、12三个数又被顺时针移动了六
个位置，变为下图，图中十二个数的顺序符合题意。