一、填空题1.黑板上写着8 ，9 ，10，11，12，13，14七个数，每次任意擦
去两个数，再写上这两个数的和减1.例如，擦掉9 和13，要写上21. 经过几次后，
黑板上就会只剩下一个数，这个数是_____. 2. 口袋里装有99张小纸片，上面分
别写着1~99. 从袋中任意摸出若干张小纸片，然后算出这些纸片上各数的和，再
将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后，袋
中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是_____. 3. 用1~10十个数随意排成一排。

    如果相邻两个数中，前面的大于后面的，就将它们变换位置。如此操作直到
前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数中的第6 位，那么最少要实行_____
次交换。最多要实行_____ 次交换。

    4.一个自然数，把它的各位数字加起来得到一个新数，称为一次变换，例如
自然数5636，各位数字之和为5+6+3+6=20，对20再作这样的变换得2+0=2.可以证
明进行这种变换的最后结果是将这个自然数，变成一个一位数。

    对数123456789101112 …272829作连续变换，最终得到的一位数是_____. 5.
5 个自然数和为100 ，对这5 个自然数进行如下变换，找出一个最小数加上2 ，
找出一个最大数减2.连续进行这种变换，直至5 个数不发生变化为止，最后的5
个数可能是_____. 6. 在黑板上写两个不同的自然数，擦去较大数，换成这两个
数的差，我们称之为一次变换。比如（15，40），40-15=25，擦去40，写上25，
两个数变成（15，25），对得到的两个数仍然可以继续作这样的变换，直到两个
数变得相同为止，比如对（15，40）作这样的连续变换：（15，40）（15，25）

    （15，10）（5 ，10）（5 ，5 ）。

    对（1024，111 …1 ）作这样的连续变换，最后得到的两个相同的20个1 数
是_____. 7. 在一块长黑板上写着450 位数123456789123456789…（将123456789
重复50次）。删去这个数中所有位于奇数位上的数字：再删去所得的数中所有位
于奇数位上的数字：再删去…，并如此一直删下去。最后删去的数字是_____. 8.
将100 以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下五项工作叫做一次操
作：①  将左边第一个数码移到数字串的最右边；②  从左到右两位一节组成若
干这两位数；③  划去这些两位数中的合数；④  所剩的两位质数中有相同者，
保留左边的一个，其余划去；⑤  所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的
数字串。

    经过1997次操作，所得的数字串是_____. 9. 一个三角形全涂上黑色，每次
进行一次操作，即把全黑三角形分成四个全等的小三角形，中间的小正三角形涂
上白色，经过5 次操作后，黑色部分是整个三角形的_____.

    （1 ）（2 ）

    10. 口袋里装着分别写有1 ，2 ，3 ，…，135 的红色卡片各一张，从口袋
里任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这
个余数写在另一张黄色的卡片上放回口袋内。经过若干次这样的操作后，口袋内
还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片。已知这两张红色卡片上写的数分别是19和
97. 那么这张黄色卡片上写的数是_____.

    二、解答题11. 请说明例1 中，对1980的连续变换中一定会出现重复。对其
它的数作连续变换是不是也会如此？

    12. 将3 3 方格纸的每一个方格添上奇数或偶数，然后进行如下操作：将每
个方格里的数换成与它有公共边的几个方格里的数的和，问是否可以经过一定次
数的操作，使得所有九个方格里的数都变成偶数？如果可以，需要几次？

    13. 在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1 或减1 算
作一次操作，经过若干次操作后变为下图。问：下图A 格中的数字是几？为什么？

    14. 在1997 1997 的方形棋盘上每格都装有一盏灯和一个按钮，按钮每按一
次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变不亮，不亮变
亮。如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部
变亮？

---------------答 案----------------------

    1. 71 所剩之数等于原来的七个数之和减6 ，故这个数是（8+9+10+11+12+13+14）

    -6=71. 2. 50每次操作都不改变袋中所有数之和除以100 的余数，所以最后
一张纸片上的数等于1~99的和除以100 的余数。

    （1+2+…+99 ） 100= 100 =4950 100 =49 100+50

    故这张纸片上的数是50. 3. 4次；40次。

    当排列顺序为1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，10，6 ，7 ，8 ，9 时，交换次数最少，
需交换4 次；当排列顺序为9 ，8 ，7 ，6 ，5 ，10，4 ，3 ，2 ，1 时，交换
次数最多，需交换40次。

    4. 3一个整数被9 除的余数等于它的各位数字之和被9 除的余数，如果这个
整数不是9 的倍数，就可以根据这一点来确定题目要求的一位数。

    （1+2+…+9） 3+1 10+2 10被9 除余3 ，可见最终得到的一位数是3.

    5. 20 ，20，20，20，20，或19，20，20，20，21或19，19，20，21， 21.
仿例2 ，5 个数的差距会越来越小，最后最大与最小数最多差2.最终的5 个数可
能是20，20，20，20，20，或者19，20，20，20，21或19，19，20，21，21. 6.
1 变换中的两个数，它们的最大公约数始终末变，是后得到的两个相同的数即为
它们的最大公约数。因为1024=210，而11…1 20个1 没有质因子2 ，它们是互质
的。所以最后得到的两个相同的数是1. 7.  4事实上，在第一次删节之后。留下
的皆为原数中处于偶数位置上的数；在第二次删节之后，留下的数在原数中所处
的位置可被4 整除；如此等等。于是在第八次删节之后，原数中只留下处于第28
k=256k号位置上的数，这样的数在所给的450 位数中只有一个，即第256 位数。

    由于256=9 28+4，所以该数处于第29组"123456789" 中的第4 个位置上。即
为4. 8. 1731第1 次操作得数字串711131131737；第2 次操作得数字串11133173
；第3 次操作得数字串111731；第4 次操作得数字串1173；第5 次操作得数字串
1731第6 次操作得数字串7311；第7 次操作得数字串3117；第8 次操作得数字串
1173；以下以4 为周期循环，即4k次操作均为1173. 1996=4 499，所以第1996次
操作得数字串1173，因此第1997次操作得数字串1731. 9.每一次黑三角形个数为
整个的，所以5 次变换为 = 10. 3卡片上的数字之和除以17的余数始终不变。

    （1+2+3+…+135） 17=9180 17=540.（19+97 ） 17=116 17=6……14，因为
黄色卡片上的数都小于17，所以黄色卡片上的数是17-14=3. 11.对1980的连续变
换中，每个数都不大于1980+1991=3971，所以在3971步之内必定会出现重复，对
其它的数作连续变换也会如此。

    12. 如图，用字母a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，I 代表9 个方格内的
数字，0 代表偶数。

    a b c b+d a+e+c b+f g+c b+h a+i d e f a+e+g d+b+h+f c+e+i d+f 0 d+f
g h i d+h g+e+i h+f a+i b+h g+c d+f+b+h g+c+a+i b+h+d+f 0 0 0 g+c+a+i
0 g+c+a+i 0 0 0 d+f+b+h a+I+g+c b+h+d+f 0 0 0 可见经过四次操作后，所有
九个方格中的数全变为偶数。

    13. 每次操作都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（如右
下图），因为每次操作总是一个黑格与一个白格同时加1 或减1 ，所以无论进行
多少次操作，白格内的数字之和减去黑格内的数字之和总是常数。由原题左图知
这个常数是8 ，再由原题右图可得（A+7 ）-8=8，由此解得A=9.

    14. 1997次将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改
变一次状态，由不亮变亮。而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮。

    如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这
一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态。