一、填空题1.有一列由三个数组成的数组，它们依次是（1 ，5 ，10）；
（2 ，10，20）；（3 ，15，30）；……第99个数组内三个数的和是______.

    2.有数组：（1 ，1 ，1 ），（2 ，4 ，8 ），（3 ，9 ，27），……，第
100 组的三个数之和是___.

    3.有数组{1，2 ，3 ，4}，{2，4 ，6 ，8}，{3，6 ，9 ，12} ，……，那
么第100 个数组的四个数的和是______.

    4.将自然数按下面的规律分组：（1 ，2 ），（3 ，4 ，5 ，6 ），（7 ，
8 ，9 ，10，11，12），（13， 14 ，15，16，17，18，19，20），……，第1991
组的第一个数和最后一个数各是______.

    5.将奇数按下列方式分组：（1 ），（3 ，5 ），（7 ，9 ，11），（13，
15，17，19），……。

    （1 ）第15组中第一个数是______；（2 ）第15组中所有数的和是______；
（3 ） 999位于第____组第____号。

    6.自然数列1 ，2 ，3 ，…，，…，它的第组含有2 -1个数，第10组中各数
的和是______.

    7.给定以下数列：，，，，，，，，，，…，（1 ）是第____项；（2 ）第
244 项是____；（3 ）前30项之和是____.

    8.在以下数列：，，，，，，，，，，，，…中，居于第___ 项。

    9.设自然数按下图的格式排列：1 2 5 10 17 …

    4 3 6 11 18 …

    9 8 7 12 19 …

    16 15 14 13 20…

    25 24 23 22 21…

    ………………

    （1 ） 200所在的位置是第____行，第____列；（2 ）第10行第10个数是______.

    10. 紧接着1989后面写一串数字，写下的数字都是它们前面两个数字之积的
个位数，例如8 ×9=72，在9 后面写2 ，2 ×9=18，在2 后面写8 ，…，这样得
到一串数字，从1 开始，第1989个数字是______.

    二、解答题11. 将1 到1989的自然数从头开始，依次第四个数一组，第一组
各数间添上"+" 号，第二组各数间添上" 一" 号，以后各组以"+" ，" 一" 号相
间隔，列成一个算式：1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-…。问：（1 ） 1989
前添什么号？

    （2 ）求这个算式的结果。

    12. 把由1 开始的自然数依次写下来：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
…。

    重新分组，按三个数字为一组：123 ，456 ，789 ，101 ，112 ，131 ，…，
问第10个数是几？

    13. 根据下图回答：（1 ）第一行的第8 个数是几？

    （2 ）第五行第六列上的数是几？

    （3 ） 200的位置在哪一格（说出所在行和列的序号）？

    14. 已知自然数组成的数列：1 ，2 ，3 ，…，9 ，10，11，12，…，把这
个数列的10和大于10的数，全部用逗号隔成一位数，做成一个新的数列：1 ，2 ，
3 ，…，9 ，1 ，0 ，1 ，1 ，1 ，2 ，…。

    问：（1 ）中100 这个数的个位上的"0" 在中是第几个数？

    （2 ）中第100 个数是几？这个数在中的哪个数内？是它的哪一位数？

    （3 ）到的第100 个数为止，"3" 这个数字出现了几次？

    （4 ）中前100 个数的和是多少？

---------------答 案----------------------

    答案：1.解法一这串数组，各组数的和是16，32，48，…。各组数的和分别
是按16的1 倍，2 倍，3 倍，……的规律递增。因此，第99个数组的和是16×99=16
×（100-1 ）=1600-16=1584.解法二通过观察可以发现，每一组括号中的三个数
的关系是：第一个数表示组数，第二个数是第一个数的5 倍，第三个数是第一个
数的10倍。因此，第99组内三个数应为：（99，99×5 ，99×10）。所以，第99
个数组的和是：99+99 ×5+99×10=99 ×（1+5+10）

    =99 ×16 =1584

    2.解法一通过观察可以发现，每一组括号中三个数的关系是：第一个数表示
组数，第二个数是第一个数自乘的积，第三个数是第一、二两数的乘积，因此，
第100 组中的三个数应分别是：第一个数是100 ；第二个数是100 ×100=10000
；第三个数是100 ×10000=1000000 ，所以，第100 组的三个数的和为：100+10000+1000000=1010100.
解法二通过观察可发现每一组的三个数的和可以用通项公式表示， =1 ，2 ，3 ，
…。因此，第100 组的三个数之和是：。

    3.解法一这串数组，各组数的和是10，20，30，40，…。因此，第100 个数
中的四个数的和是100 ×10=1000.解法二通过观察可以发现，每一组数括号中四
个数的关系是：第一个数表示组数，第二个数是第一个数的2 倍，第三个数是第
一个的3 倍，第四个数是第一个数的4 倍。因此，第100 个数组内的四个数分别
是：（100 ，200 ，300 ，400 ）。

    所以，第100 个数组的四个数的和是：100+200+300+400=1000.

    4.仔细观察找出这些自然数分组的规律，再找出每一组的第一个数与该组的
序数之间的关系。

    第1 组的第1 个数是：1=（1-1 ）×1+1 ；第2 组的第1 个数是：3=（2-1 ）
×2+1 ；第3 组的第1 个数是：7=（3-1 ）×3+1 ；第4 组的第1 个数是：13=
（4-1 ）×4+1 ；……

    根据这一规律，可求出第1991组的第1 个数是：（1991-1）×1991+1=3962091.
第1992组的第一个数是：（1992-1）×1992+1=3966073. 因此，第1991组的最后
一个数是：3966073-1=3966072.

    5.（1 ）从第1 组到第14组的奇数有1+2+3+…+14= =105 （个）。

    因此，第15组最初一个数是第106 个奇数：2 ×106-1=211.（2 ）在第15组
中的数是以211 为首项，公差为2 ，项数等于15的等差数列，其和是15×211+×
2=3375. （3 ）设999 位于第组，因31×32=992，32×33=1056 ，所以 =32，第
32组最初一个数是：[2×（1+2+…+31 ）-1]+2=993.因此，999 是第32组的第4
号数。

    6.第1 组到第9 组共有自然数：1+3+5+…+ （2 ×9-1 ）= =18 （个）。

    因此，第10组第1 号数是82，第10组有2 ×10-1=19 个数，所以第10组各数
之和为。

    7.（1 ）以分母相同的分数分组，并记分母为的分数属于第组，从而是第29
组的第13号数，第组由个分数组成，从第1 组到第28组有1+2+3+…+28= =406 个
分数，因此位于第406+13=419项。

    （2 ）因21×20=420，22×21=462，23×22=506，故第244 项在第22组，前
21组有 =231 个分数，从而第244 项是居于第22组中的第13号数，是 .（3 ）前
30项之和为1+（1+2 ）+ （1+2+3 ）+ …+ （1+2+…+7）+ + =1+ + …+ + =
（2+3+4+…+8）+ = × + = =17 .

    8.将分子与分母之和相等者归于同一组：，，，，…，其中在7+19-1=25 组，
是第19号数。1 至24组共有分数1+2+3+…+24= =300 （个）。

    所以在原数列中是第300+19=319项。

    9.注意到第一列是完全平方数： 1，4 ，9 ，16，25，…。

    按（1 ），（2 ，3 ，4 ），（5 ，6 ，7 ，8 ，9 ），…分组，则200 在
196 与225 之间，属第15组，倒数第4 个数，在第4 行、第15列上。

    第10行第10个数是位于第10行第10列上的数91.

    10. 写出前面几个数字：198928688428688428…，1989后面的六位数字出现
循环。

    （1989-4）÷6=330 …5 ，所以第1989位数字是8.

    11. 1989÷8=248 …5 ，所以1989前添的是"-" 号。观察到，从第3 个数起，
每8 个数之和为0 ：3+4-5-6-7-8+9+10=0，11+12-13-14-15-16+17+18=0 ，……
……………………

    （1989-2）÷8=248 …3 ，所以，这个算式的结果是：1+2+1987+1988-1989=1989.

    12. 1 到9 有9 个数字，10到19有20个数字，第10个三位数是192.

    13. （1 ）所有自然数按自右上至左下以斜线分组：

    （1 ），（2 ，3 ），（4 ，5 ，6 ），（7 ，8 ，9 ，10），…，第组第
1 号数是第一行的第个数。从第1 组到第（ -1 ）组有：1+2+3+…+ （ -1 ）=
个数，从而第组第1 号数是 +1.因此，第1 行第8 个数是 +1=29. （2 ）一般地，
自上至下第行，自左至右第列上的数在第（ + -1 ）组中，第五行第六列上的数
在第10组中，第10组第1 号数是 +1=46，第10组在第五行的数是46+5-1=50.（3 ）
19×20=380，20×21=420，故200 在第20组中，第20组第一个数是+1=191，因此
数200 在第10行第11列的位置上。

    14. （1 ）数100 之前有数字9+2 ×90=189（个），所以数100 的个位上的
"0" 在中是第189+3=192 个数。

    （2 ）中第9+2 ×40=89 个数是中数49的"9" ：4950515253545556…，中第
100 个数是中数55的十位数上的"5".（3 ）到的第100 个数为止，数字"3" 一共
出现了1+1+1+11+1+1=16 （次）。

    （4 ）中前100 个数字之和为（1+2+…+9）×5+10×（1+2+3+4 ）+6×5+
（0+1+2+3+4 ）

    =225+100+30+10 =365.