一、填空题1.先观察前面三个算式，从中找出规律，并根据找出的规律，直
接在（）内填上适当的数。

    （1 ）123456789 ×9=1111111101，（2 ）123456789 ×18=2222222202 ，
（3 ）123456789 ×27=3333333303 ，（4 ）123456789 ×72= （），（5 ）123456789
×63= （），（6 ）6666666606÷54= （），（7 ）9999999909÷81= （），
（8 ）5555555505÷123456789=（）。

    2.将下列分数约成最简分数：=____________.

    3.在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有____个。

    4.大于1 的整数加下图所示，排成8 列，数1000将在第____列。

    2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14

    5.将所有自然数如下图排列。15120 这个数应在第____行第____个位置上。

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

    6. 11 个数排成一列，相邻三个数之和等于20. 已知第2 个数是1 ，第13个
数是9 ，第9 个数是____.

    7.一数列相邻四个数的和都是45，已知第6 个数是11，第19个数是5 ，第44
个数是24，那么第一个数是____.

    8.数列1 ，1991，1990，1 ，1989，1988，1 ，…从第三个数起，每个数是
前两个数的差，这个数列中第一个零出现在第____项。

    9.例6 中第70个数被5 除余____.

    10. 如下图，有一个六边形点阵，它的中心是个点，算作第一层；第二层每
边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，……这个六边形点
阵共有层，第层有____个点，这个点阵共有____个点。

    二、解答题11. 现有如下一系列图形：

    当 =1 时，长方形分为2 个直角三角形，总计数出5 条边。

    当 =2 时，长方形分为8 个直角三角形，总计数出16条边。

    当 =3 时，长方形分为18个直角三角形，总计数出33条边。

    ……

    按如上规律请你回答：当 =100 时，长方形应分为多少个直角三角形？总计
数出多少条边？

    12. 下面的（）、（）、（）、（）为四个平面图。数一数，每个平面图各
有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表（按
填好的样子做）。

    顶点数  边数  区域数（）

    4 6  3（）

    （）

    （）

    ？观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？？
现已知某个平面图有999 个顶点，且围成了999 个区域，试根据以上关系确定这
个图有多少条边。

    13. 全体奇数排成下图形式，十字框子框出5 个数，要使这五个数之和等于，
（1 ） 1989 ；（2 ） 1990 ；（3 ） 2005 ；（4 ） 2035 ，能否办到？若能
办到，请你写出十字框中的五个数。

    1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47

    14. 有一列数1 ，3 ，4 ，7 ，11，18…（从第三个数开始，每个数恰好是
它前面相邻两个数的和）。

    （1 ）第1991个数被6 除余几？

    （2 ）把以上数列按下述方法分组（1 ），（3 ，4 ），（7 ，11，18）…
（第组含有个数），问第1991组的各数之和被6 除余数是几？

---------------答 案----------------------

    答案：1. 8888888808 ， 7777777707 ， 123456789， 123456789， 45.

    2.因为，，，……，即分子分母添上相同个数的6 ，分数值不变，所以 .

    3.十位数字是1 时，这样的两位数只有10这1 个；十位数字是2 时，这样的
两位数有20，21这2 个；十位数字是3 时，这样的两位数有30，31，32这3 个；
……

    由此可以推知：" 十位上的数字是几，符合条件的两位数就有几个。" 所以，
符合题目条件要求的两位数，共计有：1+2+3 …+8+9=45.

    4.所有8 的倍数均在第三列中，数1000是8 的倍数，所以它在第三列中。

    5.每一行的最末一个数正好为该行行数的平方，该行开头的数是前一行最末
一个数加1.由于1222<15120<1232 ，15120-1222=236，故15120 在第123 行的236
号上。

    6. 14 个数是每三个数的循环排列，第二个数是1 ，那么第8 个数也是1.第
13个数是9 ，那么第10个数也是9 ，所以第9 个数是20-1-9=10.

    7.数列每隔4 项重复出现。第2 个数是11，第3 个数是5 ，第4 个数是24，
那么第一个数是45- （11+5+24 ）=5.

    8.除开1 不看，数列是1991，1990，1989，1988，…，第1992个是0 ，再加
上前面的996 个1 ，第一个0 出现在第1992+996=2988 项上。

    9.写出每个数被5 除的余数：0 ，1 ，3 ，3 ，1 ，0 ，4 ，2 ，2 ，4 ，
0 ，1 ，3 ，…

    可见每10个余数循环一次，70÷10=7，第70个数被5 除余为0.

    10. 观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数。

    第一层有点数：1 ；第二层有点数：1 ×6 ；第三层有点数：2 ×6 ；第四
层有点数：3 ×6 ；……；第层有点数：（ -1 ）×6.因此，这个点阵的第层有
点（ -1 ）×6 个，层共有点数为1+1 ×6+2 ×6+3 ×6+…+ （ -1 ）×6 =1+6
×[1+2+3+ …+ （ -1 ）] =1+6×=1+3（ -1 ） .

    11. =1时，直角三角形2.12个，边数=2.1（1+1 ）+12=5 ；=2时，直角三角
形2.22个，边数=2.2（2+1 ）+22=16；=3时，直角三角形2.32个，边数=2.3（3+1
）+32=33 ；对一般的，共分为2. 2个直角三角形，总计数出2 （ +1 ）+ 2 条边。

    所以 =100 时，共分为2.1002=20000个直角三角形，总计数出2 ×100 ×
（100+1 ）+1002=30200 条边。

    12. （1 ）填表如下：顶点数  边数  区域数（）

    4 6 3 （）

    8 12 5（）

    6 9 4 （）

    10 15 6 （2 ）由该表可以看出，所给四个平面图的顶点数、边数及区域数
之间有下述关系：4+3-6=1 8+5-12=1 6+4-9=1 10+6-15=1所以，我们可以推断：
任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：顶点数+ 区域数- 边
数=1. （3 ）由上面所给的关系，可知所求平面图的边数。

    边数= 顶点数+ 区域数-1 =999+999-1 =1997 注：本题第二问中的推断是正
确的，也就是说任何平面图的顶点数、区域数及边数都能满足我们所推断的关系。
当然，平面图有许许多多，且千变万化，然而不管怎么变化，顶点数加区域数再
减边数，最后的结果永远等于1 ，这是不变的。因此，顶点数+ 区域数- 边数就
称为平面图的不变量（有时也称为平面图的欧拉数——以数学家欧拉的名字命名）。

    13. 十字框中5 个数的和等于中间那个数的5 倍，1989不是5 的倍数，1990=5
×398 是5 的偶数倍，均不可能。2005÷5=401 ，能办到的五个数是399 ，401 ，
403 ，389 ，413. 2005 ÷5=407 ，407 ÷12=33 …11，407 在最右边一列上，
故不可能。

    14. 设表示数列中的等个数，= + （）， = +（ 6）（）。

    容易列出下表：

    被6 除的余数  1 3 4 1 5 0 5 5 4 3 1 4 5

    被6 除的余数  3 2 5 1 0 1 1 2 3 5 2 1 3 观察上表可知 =（ 6）， =（
6 ），则 =（ 6）。就是说，数列中的数被6 除所得的余数，每隔24个数重复出
现。

    由于1991=24 ×82+23 ，因此 = =5 （ 6），即数列中等1991个数被6 除余
数是5.按规定分组后，前1990组共有：1+2+3+…+1990=1981045 （个）数，第1991
组的各数之和为 = + +…+ . 据上表可知，数列中任意相邻的24个数之和被6 除
的余数就等于24个数分别被6 除所得余数之和被6 除所得的余数，即：+ + …+
= （1+3+4+1+5+0+5+5+4+5+3+1+4+5+3+2+5+1+0+1+1+1+2+ 3+5+2）=66=0 （ 6）。

    由1991=24 ×82+23 得= + + …+ +0×82（ 6）。

    有 + = + +…+ =0（ 6），1981045=24×82543+13，= =5（ 6），即被6 除
余数是5 ，故被6 除所得的余数应是1.