一、填空题1.某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____. 2.
1989年12月5 日是星期二，那么再过十年的12月5 日是星期_____. 3. 按下面摆
法摆80个三角形，有_____ 个白色的。

    ……

    4.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、
绿各一盏彩灯。也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3 盏彩
灯，小明想第73盏灯是_____ 灯。

    5.时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间
是_____. 6. 把自然数1 ，2 ，3 ，4 ，5 ……如表依次排列成5 列，那么数"1992"
在_____ 列。

    第一列  第二列  第三列  第四列  第五列1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14
18 17 16 15 …  …  …  …  …

    …  …  …  …

    7.把分数化成小数后，小数点第110 位上的数字是_____. 8. 循环小数与 .
这两个循环小数在小数点后第_____ 位，首次同时出现在该位中的数字都是7. 9.
一串数： 1，9 ，9 ，1 ，4 ，1 ， 4，1 ，9 ，9 ，1 ，4 ，1 ，4 ，1 ，9 ，
9 ，1 ，4 ，……共有1991个数。

    （1 ）其中共有_____ 个1 ，_____ 个9_____个4 ；（2 ）这些数字的总和
是_____. 10. 7 7 7…… 7所得积末位数是_____.

    50个

    二、解答题11. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个
数字的乘积的个位数。例如8 9=72，在9 后面写2 ，9 2=18，在2 后面写8 ，…

    …得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6 ……

    这串数字从1 开始往右数，第1989个数字是什么？

    12. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两
位数是多少？

    13. 设n=2 2 2 …… 2，那么n 的末两位数字是多少？

    1991个14. 在一根长100 厘米的木棍上，自左至右每隔6 厘米染一个红点，
同时自右至左每隔5 厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长
度是1 厘米的短木棍有多少根？

---------------答 案----------------------

    1.二因为7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，
且2 月1 日与2 月29日均为星期日，3 月1 日是星期一，所以从这年3 月1 日起
到这年6 月1 日共经过了31+30+31+1=93 （天）。

    因为93 7=13 …2 ，所以这年6 月1 日是星期二。

    2.日依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有
365 10+2=3652 （天）

    因为（3652+1） 7=521…6 ，所以再过十年的12月5 日是星期日。

    [ 注] 上述两题（题1-题2 ）都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为
星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答。在计
算天数时，要根据" 四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰" 的规定，即公历年
份不是整百数时，只要是4 的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400
的倍数才是闰年。

    3. 39 从图中可以看出，三角形按" 二黑二白一黑一白" 的规律重复排列，
也就是这一排列的周期为6 ，并且每一周期有3 个白色三角形。

    因为80 6=13 …2 ，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色
三角形13 3=39 （个）。

    4.白依题意知，电灯的安装排列如下：白，红，黄，绿，白，红，黄，绿，
白，……这一排列是按" 白，红，黄，绿" 交替循环出现的，也就是这一排列的
周期为4.由73 4=18 …1 ，可知第73盏灯是白灯。

    5. 13 时。

    分针旋转一周为1 小时，旋转1991周为1991小时。一天24小时，1991 24=82
…23，1991小时共82天又23小时。现在是14时正，经过82天仍然是14时正，再过
23小时，正好是13时。

    [ 注] 在圆面上，沿着圆周把1 到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长
针和一根短针，就组成了我们天天见到的钟面。钟面虽然是那么的简单平常，但
在钟面上却包含着十分有趣的数学问题，周期现象就是其中的一个重要方面。

    6. 3仔细观察题中数表。

    1 2 3 4 5 （奇数排）

    第一组9 8 7 6 （偶数排）

    10 11 12 13 14（奇数排）

    第二组18 17 16 15 （偶数排）

    19 20 21 22 23（奇数排）

    第三组27 26 25 24 （偶数排）

    可发现规律如下：（1 ）连续自然数按每组9 个数，且奇数排自左往右五个
数，偶数排自右往左四个数的规律循环排列；（2 ）观察第二组，第三组，发现
奇数排的数如果用9 除有如下规律：第1 列用9 除余数为1 ，第2 列用9 除余数
为2 ，…，第5 列用9 除余数为5.（3 ）10 9=1…1 ，10在1+1 组，第1 列19 9=2
…1 ，19在2+1 组，第1 列因为1992 9=221…3 ，所以1992应排列在（221+1 ）

    =222组中奇数排第3 列数的位置上。

    7. 7 =0.57142857……

    它的循环周期是6 ，具体地六个数依次是5 ，7 ，1 ，4 ，2 ，8 110 6=18
…2 因为余2 ，第110 个数字是上面列出的六个数中的第2 个，就是7. 8. 35因
为0.1992517 的循环周期是7 ，0.34567 的循环周期为5 ，又5 和7 的最小公倍
数是35，所以两个循环小数在小数点后第35位，首次同时出现在该位上的数字都
是7. 9. 853 ，570 ，568 ，8255. 不难看出，这串数每7 个数即1 ，9 ，9 ，
1 ，4 ，1 ，4 为一个循环，即周期为7 ，且每个周期中有3 个1 ，2 个9 ，2
个4.因为1991 7=284…3 ，所以这串数中有284 个周期，加上第285 个周期中的
前三个数1 ，9 ，9.其中1 的个数是：3 284+1=853 （个），9 的个数是2 284+2=570
（个），4 的个数是2 284=568 （个）。这些数字的总和为1 853+9 570+4 568=8255.
10. 9 先找出积的末位数的变化规律：71末位数为7 ，72末位数为9 ，73末位数
为3 ， 74 末位数1 ；75=74+1 末位数为7 ，76=74+2 末位数为9 ，77=74+3 末
位数为3 ，78= 末位数为1 ……

    由此可见，积的末位依次为7 ，9 ，3 ，1 ，7 ，9 ，3 ，1 ……，以4 为
周期循环出现。

    因为50 4=12 …2 ，即750=，所以750 与72末位数相同，也就是积的末位数
是9. 11.依照题述规则多写几个数字：1989286884286884……

    可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6 个一组，即循环周期
为6.因为（1989-4） 6=330…5 ，所以所求数字是8. 12. 1991 个1990相乘所得
的积末两位是0 ，我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即可。1 个1991末
两位数是91，2 个1991相乘的积末两位数是81，3 个1991相乘的积末两位数是71，
4 个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11，01，11个
1991相乘积的末两位数字是91，……，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字
重复出现，即周期为10. 因为1990 10=199 ，所以1990个1991相乘积的末两位数
是01，即所求结果是01. 13. n 是1991个2 的连乘积，可记为n=21991 ，首先从
2 的较低次幂入手寻找规律，列表如下：

    n n 的十位数字 n的个位数字 n n的十位数字 n的个位数字21 0 2 212 9 6
22 0 4 213 9 2 23 0 8 214 8 4 24 1 6 215 6 8 25 3 2 216 3 6 26 6 4 217 7 2
27 2 8 218 4 4 28 5 6 219 8 8 29 1 2 220 7 6 210 2 4 221 5 2 211 4 8 222 0 4

    观察上表，容易发现自22开始每隔20个2 的连乘积，末两位数字就重复出现，
周期为20. 因为1990 20=99…10，所以21991 与211 的末两位数字相同，由上表
知211 的十位数字是4 ，个位数字是8.所以，n 的末两位数字是48. 14. 因为100
能被5 整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色。于是我们可以看作是从同
一端点染色。

    6 与5 的最小公倍数是30，即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就
会出现循环，每一周的长度是30厘米，如下图所示。

    由图示可知长1 厘米的短木棍，每一周期中有两段，如第1 周期中，6-5=1 ，
5 5-6 4=1.剩余10厘米中有一段。所以锯开后长1 厘米的短木棍共有7 段。综合
算式为：2 [ （100-10） 30]+1 =2 3+1 =7（段）

    [ 注] 解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5 厘米的染色，转
化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易。