一、填空题1.五个连续奇数的和是85，其中最大的数是_____ ，最小的数是
_____. 2. 三个质数、、，如果 > >1 ， + =，那么 =_____. 3. 已知a 、b 、
c 都是质数，且a+b=c ，那么a b c 的最小值是_____. 4. 已知a 、b 、c 、d
都是不同的质数，a+b+c=d ，那么a b c d 的最小值是_____. 5. a 、b 、c 都
是质数，c 是一位数，且a b+c=1993，那么a+b+c=_____. 6. 三个质数之积恰好
等于它们和的7 倍，则这三个质数为_____. 7. 如果两个两位数的差是30，下面
第_____ 种说法有可能是对的。

    （1 ）这两个数的和是57. （2 ）这两个数的四个数字之和是19. （3 ）这
两个数的四个数字之和是14. 8.一本书共186 页，那么数字1 ，3 ，5 ，7 ，9
在页码中一共出现了_____ 次。

    9.筐中有60个苹果，将它们全部取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同，
则有_____ 种分法。

    10. 从1 至9 这九个数字中挑出六个不同的数，填在下图所示的六个圆圈内，
使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数。那么最多能找出_____ 种不同的挑法
来。（六个数字相同，排列次序不同算同一种）

    二、解答题11. 在一张9 行9 列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数
加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8.问：填入的81个数字中，奇数多还是偶
数多？

    1 2 3 4 5 6 7 8 9

    12. 能不能在下式：1 2 3 4 5 6 7 8 9=10的每个方框中，分别填入加号或
减号，使等式成立？

    13. 在八个房间中，有七个房间开着灯，一个房间关着灯。如果每次同时拨
动四个房间的开关，能不能把全部房间的灯关上？为什么？

    14. 一个工人将零件装进两种盒子中，每个大盒子装12只零件，每个小盒子
装5 只零件，恰好装完。如果零件一共是99只，盒子个数大于10，这两种盒子各
有多少个？

---------------答 案----------------------

    1. 21 ，13这五个数的中间数85 5=17 ，可知最大数是21，最小数是13. 2.
2 因为 > >1 ， + =，所以 > > .这里的关键是明确质数除2 以外都是奇数，假
如不等于2 ，则它一定是奇数，那么 + =偶数，显然这个偶数不会是质数。所以，
一定等于2. 3. 30因为所有的质数除2 以外都是奇数，题中a+b=c ，仿上题，由
数的奇偶性可以推知a=2 ，b ，c 都是质数，根据a b c 的值最小的条件，可推
知b=3 ，c=5 ，所以a b c 的最小值是2 3 5=30. 4. 3135 在所有质数中除2 是
偶数以外，其余的都是奇数，如果a ，b ，c ，d 中有一个为2 ，不妨设a=2 ，
则b ，c ，d 均为奇数，从而a+b+c 为偶数，不符合条件a+b+c=d ，所以a ，b ，
c ，d 都是奇数。再根据a b c d 的值最小的条件，可推知a=3 ，b=5 ，c=11，
d=19. 因此a b c d 的最小值为3 5 11 19=3135. 5. 194由a b+c=1993知，a b
与c 奇偶性不同。当a b 为偶数，c 为奇数时，c 的值为3 、5 或7 ，不妨设b
为2 ，则a 的值为995 ，994 或993.因为995 、994 、993 都不是质数，所以不
合题意舍去。当a b 为奇数，c 为偶数时，c=2 ，a b=1991，1991=11 181 ，从
而a 的值是11（或181 ），b 的值是181 （或11）。2 、11、181 均为质数符合
题意。所以a+b+c=2+11+181=194. 6. 3，5 ，7 依题意，设三个质数为X ，Y ，
Z ，则X+Y+Z=，这样三个质数必定有一个质数是7.如果X=7 ，则Y Z=Y+Z+7 ，即
Y Z-（Y+Z ）=7. 根据数的奇偶性：偶- 奇= 奇；奇- 偶= 奇，进行讨论。

    当Y Z 为偶数， Y+Z为奇数时，则Y （或Z ）必定是2 ，从而有2 3-（2+3 ）

    =1，2 5-（2+5 ）=3，2 11- （2+11）=9，……均不符合条件。

    当Y Z 为奇数， Y+Z为偶数时，则Y 、Z 均为奇数。若Y=3 ，Z=5 ，则3 5-
（3+5 ）=7，符合条件。

    所以，这三个质数分别是3 ，5 和7. [注] 以上五题（题2-题6 ）都是质数
与奇偶数的性质求解" 小、巧、活" 的例子。尤其要注意2 是所有质数中唯一的
偶数这一特征。命题者常在此涉足。

    7.（2 ）

    因为两个两位数的差是30，所以这两个两位数一定都是奇数，或都是偶数
（因为只有偶数- 偶数= 偶数、奇数- 奇数= 偶数），且偶数+ 偶数= 偶数，奇
数+ 奇数= 偶数，所以第（1 ）种说法显然不对。因为差是30，所以它们的个位
数字相同，那么相加一定是偶数；又差的十位数字是奇数，故两个两位数的十位
数字一定是一奇一偶。通过以个分析，可得出：两个两位数的四个数字相加之和
肯定是奇数，而不是偶数，所以第（3 ）种说法也是错的。第（2 ）种说法有可
能对。

    [ 注] 在排除第一种说法不对时，也可直接运用整数的奇偶性质：两个整数
的和与差有相同的奇偶性，即设a ，b 为整数，那么a+b 与a-b 有相同的奇偶性。

    证明（a+b ）+ （a-b ）=2a 为一偶数，所以a+b 与a-b 的奇偶性相同。

    这条性质在处理奇偶性问题中用途很广。

    8. 270因为1 ，3 ，5 ，7 ，9 为连续奇数，分别算出186 页总页码中个位、
十位、百位上出现的奇数次数，再相加后所得的奇数总和即为数字1 ，3 ，5 ，
7 ，9 在页码中一共出现的总次数。

    从1-186 ，个位上出现的奇数为186 2=93（次）；从10-186，十位上出现的
奇数为10 9=90 （次）；从100-186 ，百位上出现的奇数为186-100+1=87（次）。

    所以，186 页书中1 ，3 ，5 ，7 ，9 在页码中一共出现了93+90+87=270
（次）

    9. 8由于" 每堆个数相同" 且" 分成偶数堆" 知本题是要求60的偶因子的个
数，因为每个偶因子对应于一种符合条件的分法，60的偶因子有：2 ，4 ，6 ，
10，12，20，30和60，所以有8 种分法。

    10. 17在所有质数中，除2 是偶数外，其余是奇数。由所给出的数字，根据
数的奇偶性质可知，六个数必定三偶三奇间隔排列。这样，按三个偶数的4 种排
列列举如下：

    2___4___6___： 2，1 ，4 ，7 ，6 ，5 ， 2，3 ，4 ，1 ，6 ，5 ， 2，
3 ，4 ，7 ，6 ，5 ， 2，3 ，4 ，7 ，6 ，1 ， 2，9 ，4 ，1 ，6 ，5 ， 2，
9 ，4 ，7 ，6 ，1 ， 2，9 ，4 ，7 ，6 ，5 ，共七种；2 4 8___： 2，1 ，
4 ，3 ，8 ，5 ， 2，1 ，4 ，3 ，8 ，9 ， 2，1 ，4 ，9 ，8 ，5 ， 2，3 ，
4 ，9 ，8 ，5 共四种；2___6___8___： 2，1 ，6 ，5 ，8 ，3 ， 2，1 ，6 ，
5 ，8 ，9 两种；4___6___8___： 4，1 ，6 ，5 ，8 ，3 ， 4，1 ，6 ，5 ，
8 ，9 ，4 ，7 ，6 ，5 ，8 ，3 ， 4，7 ，6 ，5 ，8 ，9 共四种。

    所以，最多能找出17种不同的排列。

    [ 注] 也可以按照三个奇数的10种排列（例如：1___3___5___，1___3___7___，
1___3___9___，……）将偶数2 ，4 ，6 ，8 填入空位，同样也有17种不同的排
列。实质上，我们只要把上述的17种排列的每一种，按适当的轮换方法即得。例
如，2 ，1 ，4 ，3 ，8 ，5 1 ，4 ，3 ，8 ，5 ，2. 11.根据自然数和的奇偶
性：奇数+ 奇数= 偶数，偶数+ 偶数= 偶数，奇数+ 偶数= 奇数，知，第一行填
的数中偶数比奇数多1 个，第二行填的数中偶数比奇数少1 个，第三得填的数中
偶数比奇数多1 个，第四行填的数中偶数比奇数少1 个，……

    可见，前8 行中奇数和偶数的个数一样多，而第九行中偶数多。所以，81个
数字中偶数多。

    12. 由题7 评注知，在一个只有加减法运算的自然数式子中，如果把式子中
减法运算改成加法运算，那么所得结果的奇偶性不变。因此无论在给出的式子每
个方框中怎样填加减号，所得结果的奇偶性，与在每个方框中都填入加号所得结
果的奇偶性一样。但是，每个方框中都填入加号所得结果是45，是个奇数。而式
子的右边是10，是个偶数。也就是说从奇偶性上判断，要使题中式子成立是不可
能的。

    13. 不能。

    先看亮着灯的房间，每个房间的开关拨奇数次为关灯，奇数个奇数之和为奇
数，需拨奇数次。

    再看关着灯的那个房间，需拨偶数次为关灯。

    所以，为使全部房间关灯，拨动开关总次数为奇数。

    现在每次只能拨动四只开关（偶数次），所以，拨动的总次数只能为偶数。

    综合以上两方面知，不能把全部房间的灯关上。

    14. 根据每个大盒子装12只零件，不管大盒子个数是奇数还是偶数，由12偶
= 偶，12奇= 偶，可知大盒子所装零件总只数是偶数，根据99- 大盒子所装零件
总只数= 小盒子所装零件总只数可知，小盒子所装零件总只数是奇数，且能被5
整除。

    这样，小盒子所装零件总只数的个位数必定是5 ，则大盒子所装零件总只数
的个位数必定是4 ，由2 2=4 ，2 7=14，那么大盒子个数是2 个或7 个两种可能，
相应小盒子个数是15或3 个。

    因为7+3=10（不合题意舍去），所以这个工人用了2 个大盒子，15个小盒子。