一、填空题1. 1992 年1 月18日是星期六，再过十年的1 月18日是星期_____.
2.黑珠、白珠共102 颗，穿成一串，排列如下图：……

    这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____ 色的，这种颜色的珠子在这串中共
有_____ 颗。

    3.流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5 个红，再4 个黄，再3 个绿，再
2 个黑，再1 个白，然后再依次是5 红，4 黄，3 绿，2 黑，1 白，……继续下
去第1993个小珠的颜色是_____ 色。

    4.把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入A 、B 、C 、D 、E 、F 袋
中。第1992粒珠子投在_____ 袋中。

    5.将数列1 ，4 ，7 ，10，13…依次如图排列成6 行，如果把最左边的一列
叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349 应排在第_____ 行第_____
列。

    1 4 7 10 13 28 25 22 19 16 31 34 37 40 43 58 55 52 49 46……………

    …………………

    6.分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是_____. 7. 化成小数后，
小数点后面1993位上的数字是_____. 8. 在一个循环小数0.1234567 中，如果要
使这个循环小数第100 位的数字是5 ，那么表示循环节的两个小圆点，应分别在
_____ 和_____ 这两个数字上。

    9. 1991 个9 与1990个8 与1989个7 的连乘积的个位数是_____. 10.算式
（367367+762762 ） 123123 的得数的尾数是_____.

    二、解答题11. 乘积1 2 3 4 …… 1990 1991是一个多位数，而且末尾有许
多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？

    12. 有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第
二个数的，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991
个数被3 除所得的余数是几？

    共产党好共产党好共产党好……

    社会主义好社会主义好社会主义好……

    上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为
（产会），那么第340 组是_____. 14.甲、乙二人对一根3 米长的木棍涂色。首
先，甲从木棍端点开始涂黑5 厘米，间隔5 厘米不涂色，接着再涂黑5 厘米，这
样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出6 厘米不涂色，接着涂黑6 厘
米，再间隔6 厘米不涂色，交替做到底。最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总
和为_____ 厘米。

---------------答 案----------------------

    1.五在这十年中有3 个闰年，所以这10年的总天数是365 10+3，365 被7 除
余1 ，所以总天数被7 除的余数是（13-7= ）6 ，因此10年后的1 月18日是星期
五。

    2.黑，26根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按" 一黑三色"
交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.由（102-1 ） 4=25 …1 ，可知循
环25个周期，最后一颗珠子是黑色的。黑色珠子共有1 25+1=26 （颗）。

    3.黑小木球是依次按5 红，4 黄，3 绿，2 黑和1 白的规律涂色的，把它看
成周期性问题，每个周期为15. 由1993 15=132 …13知，第1993个小球是第133
周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色。

    4. B通过观察可以发现，第11次到第20次投进的袋子依次与第1 次到第10次
投进的袋子相同，即当投的次数被10除余1 ，2 ，3 ，…，8 ，9 ，0 ，分别投
进A ，B ，C ，……D ，C ，B 袋中，1992被10除余2 ，所以第1992粒珠子投在
B 袋中。

    5. 24 ，2 这个数列从第2 项起，每一项都比前一项多3 ，（349-1 ） 3+1=117，
所以349 是这列数中的第117 个数。

    从排列可以看出，每两排为一个周期，每一周期有10个数。

    因为117 10=11 …7 ，所以数"349" 是第11个周期的第7 个数，也就是在第
24行第2 列。

    6. 6 =它的循环周期是6 ，因为1993=6 332+1，所以化成小数后，其小数点
后面第1993位上的数字是6. 7. 7 = 它的循环周期是6 ，因为（1993-1） 6=332，
则循环节"142857"恰好重复出现332 次。所以小数点后面第1993位上的数字是7.
8. 3，7 表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7 的上面，且
数字"5" 肯定包含在循环节中，设前一个小圆点加在"5" 的上面，这时循环周期
是3 ，（100-4 ） 3=32 ，第100 位数字是7.设前一个小圆点加在"4" 的上面，
这时循环周期是4 ，（100-3 ） 4=24 …1 ，第100 位数字是4.设前一个小圆点
加在"3" 的上面，这时的循环周期是5 ，（100-2 ） 5=19 …3 ，第100 位数字
正好是5. [注] 拿到此题后容易看出后一个小圆点应加在7 的上面，但前一个圆
点应加在哪个数字上，一下子难以确定，怎么办？唯一的办法就是" 试".因为循
环节肯定要包含5 ，就从数字5 开始试。逐步向前移动，直到成功为止。这就像
我们在迷宫中行走，不知道该走哪条道才能走出迷宫，唯一的办法就是探索：先
试一试这条，再试一试那条。

    9. 2由特例不难归纳出：（1 ）9 的连乘积的个位数字按9 ，1 循环出现，
周期为2 ；（2 ）8 的连乘积的个位数字按8 ，4 ，2 ，6 循环出现，周期为4
；（3 ）7 的连乘积的个位数字按7 ，9 ，3 ，1 循环出现，周期为4.因为1991=995
2+1 ，所以1991个9 的连乘积的个位数字是9 ；因为1990=497 4+2，所以1990个
8 的连乘积的个位数字是4 ；因为1989=497 4+1，所以1989个7 的连乘积的个位
数字是7.9 4 7 的个位数字是2 ，即1991个9 与1990个8 与1989年7 的连乘积的
个位数字是2. 10. 9 7的连乘积，尾数（个位数字）以7 ，9 ，3 ，1 循环出现，
周期为4.因为367 4=91…3 ，所以，367367的尾数为3. 2的连乘积，尾数以2 ，
4 ，8 ，6 循环出现，周期为4.因为762 4=190 …2 ，所以，762762的尾数为4.
3 的连乘积，尾数以3 ，9 ，7 ，1 循环出现，周期为4.123 4 =30 …3 ，所以，
123123的尾数为7.所以，（367367+762762 ） 123123 的尾数为（3+4 ） 7=49
的尾数，所求答案为9. 11.从1 开始，将每10个数分为一组，每一组10个数从右
到左第一个不等于零的数字是乘积1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=3628800从右到左第一
个不等于零的数字是8 ，1~1991可分为1~10，11~20 ，21~30 ，…，1981~1990 ，
1991；8 的连乘积末位数字8 、4 ，2 ，6 重复出现，199 4=49…3 ，所以199
个8 相乘的末位数字是2 ，1991个位数字是1 ，所以，乘积1 2 3 … 1990 1991
从右到左第一个不等于零的数字是2. 12.因为第一个数 =第二个数，所以第一个
数：第二个数= ： =3 ：10. 又两数互质，所以第一个数为3 ，第二个数为10，
从而这串数为：3 ，10，13，23，36，59，95，154 ，249 ，403 ，652 ，1055
……

    被3 除所得的余数为：0 ，1 ，1 ，2 ，0 ，2 ，2 ，1 ，0 ，1 ，1 ，2 ，
……按"0，1 ，1 ，2 ，0 ，2 ，2 ，1"循环，周期为8.因为1991 8=248…7 ，
所以第1991个数被3 除所得余数应是第249 周期中的第7 个数，即2. [注] 解答
此题应注意以下两个问题：（1 ）由于两个数互质，所以这两个数只能是最简整
数比的两个数；（2 ）求出这串数被3 除所得的余数后，找出余数变化的周期，
但这并不是这串数的周期。一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去
除，所得的余数也具有周期性。

    13. 因为" 共产党好" 四个字，" 社会主义好" 五个字，4 与5 的最小公倍
数是20，所以在连续写完5 个" 共产党好" 与4 个" 社会主义好" 之后，将重复
从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数。

    因为340 20=17 ，所以第340 组正好写完第17个周期，第340 组是（好，好）。

    [ 注] 此题从题面上看是一个文字游戏，其实质是一个周期的问题：

    四个四个地数

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    五个五个地数

    14. 根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白……交替进
行；乙按白、黑，白、黑……交替进行，如下图所示。

    由上图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应
是5 与6 的最小公倍数的2 倍，即5 6 2=60厘米，也就是它们按60厘米为周期循
环出现。并且在每一个周期中没有涂色的部分是1+3+5+4+2=15（厘米）

    所以，在3 米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是15（300 60）=75 （厘
米）

    [ 注] 请注意这里的周期是5 与6 最小公倍数的2 倍，而不是5 与6 的最小
公倍数。这是同学们容易犯的错误。