一、填空题1.找规律，填得数。

    22=2×2=12×4=4 ；222=22×22=112×4=484 ；2222=222×222=1112×4=49284
；………………

    2222222222= （）2 ×____ =___________ ×____ =_________________.

    2.图中第1 格内放着一个立方体木块，木块六个面上分别写着六个字母，其
中与与与相对。如果将木块沿着图中方格滚动，当木块滚动到第21个格时，木块
向上的面写的字母是______.

    3.下面是三行按不同规律排列的，那么当 =32时， + =______.

    2 4 6 8 10  ……

    1 5 9 13 17 ……

    2 5 10 17 26  ……

    4.如图所示，在左上角（第一行第一列）的位置上画上第1 个点，然后按箭
头方向依次画上第2 ，3 ，4 ，…个点。那么，第1999个点在第______行第______
几列。

    5.有一张黑白相间的相间的方格纸，用记号（2 ，3 ）表示从上往下数第2
行，从左往右数第3 列的这一格（如图），那么（19，98）这一格是______色。

    6.如图所示，在正六边形周围画出6 个同样的正六边形（阴影部分），围成
第1 圈；在第1 圈外面再画出12个同样的正六边形，围成第2 圈；……。按这个
方法继续画下去，当画完第9 圈时，图中共有______个与A 相同的正六边形。

    7.下面是按规律列的三角形数阵：1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10
10 5 1………………

    那么第1999行中左起第三个数是______.

    8.将数1 到30排成五列按下表的格式排下去，300 是在______列。

    1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22
26 * * * * * * *

    9.如图是一个大表的一部分，表中将自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，
在2 处拐第一个弯，在3 处拐第二个弯，在5 处拐第三个弯，……，那么第18个
拐弯的地方是______. 43 44 45 46 47 48 49 50 42 21 22 23 24 25 26 51 41 20 7 8 9 10 27 52
40 19 6 1 2 11 28 53 39 18 5 4 3 12 29 54 38 17 16 15 14 13 30 55 37 36 35 34 33 32 31 56
64 63 62 61 60 59 58 57

    10. 一个人从中央（标有0 ）的位置出发，向东、向北各走1 千米，再向西、
向南各走2 千米，再向东、向北走3 千米，向西、向南各走4 千米，……，如此
继续下去。他每走1 千米，就把所走的路程累计数标出（如图），当他走到距中
央正东100 千米处时，他共走了______千米。

    4 3 2

    5 0 1 东

    6 7 8 9

    二、解答题11. 将自然数1 ，2 ，3 ，4 …按箭头所指方向顺序排列（如图），
依次在2 ，3 ，5 ，7 ，10…等数的位置处拐弯。

    （1 ）如果2 算作第一次拐弯处，那么第45次拐弯的数是什么？

    （2 ）从1978到2010的自然数中，恰好在拐弯处的数是什么？

    12. 下图是一张把自然数按一定顺序排列的数表，用一个有五个空格的十字
可以框出不同的五个数字，现在框出的五个数字的四个角上的数字之和是80，如
果当框出的五个数字的和是500 时，四个角上数字的和是多少？

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28

    13. 如图，在一张方格纸上画折线（用实线表示的部分），图中每个小方格
的边长为1 ，从A 点出发依次给每条直线段编号。

    （1 ）编号1994的直线段长是多少？

    （2 ）长度为1994的直线段的编号是多少？

    14. 把1 到1997这1997个数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上（如图）。
从1 开始按顺时针方向，保留1 ，擦去2 ；保留3 ，擦去4 ；……（每隔一个数，
擦去一个数）转圈擦下去，最后剩的是哪个数？

---------------答 案----------------------

    答案1. 111111111，4 ； 12345678987654321，4 ； 49382715950617284.
根据已知等式的观察和分析，可知算式演变规律有两种形式：其一是等积恒变；
其二是11×11=121，111 ×111=12321 ，……。

    2222=222×222=1112×4=49284 ；2222222222=1111111112 ×4 =12345678987654321
×4 =49382715950617284.

    2. A木块沿直线滚动4 格，与原来的状态相同，所以木块到第5 ，9 ，13，
21格时，与在第1 格的状态相同，写的字母是A.

    3. 318由数表可知A 和B 都是等差数列，根据等差数列的通项公式进行解答。

    当 32 时， =（32-2）× +1=16；当 =16时， =1+（16-1）×4=61. 再由数
表可知C 数列的相邻两项的差值3 ，5 ，7 ，9 ，11，…，31组成等差数列，根
据等差数列求和公式（）××进行解答。

    这15个差值的和是（3+31）×15× =255 ，则当 =16时， =2+255=257.因此，
=61+257=318.

    4. 27 ，45. 正长形网格内的所有格点数之和必是平方数，如2 ×2 方格网
中共有格点32=9（个），3 ×3 方格网中共有格点42=16 （个）。

    因为1999=442+63=452-26，所以第1999个点必在第45行或第45列上。因为第
452 点在第1 行第45列上，而1999=452-26 ，从第1 行倒退26行，所以第1999个
点在第27行第45列上。

    5.白观察归纳得：" 行数+ 列数= 奇数" 时为白色，" 行数+ 列数= 偶数"
时为黑色。

    而19+98 为奇数，因此（19-98 ）这一格是白色。

    6. 271提示：第几圈有6 个正六边形，所以共有1+6 ×（1+2+…+9）=271
（个）。

    7. 1995003第三行左起第三个数是1=1 ；第四行左起第三个数是3=1+2 ；第
五行左起第三个数是6=1+2+3 ；第六边左起第三个数是10=1+2+3+4；……

    归纳可知，第1999行左起第三个数是1+2+3+…+1997= =1995003.

    8. D根据表中所列数据可以看出，除1 以外，图中的连续自然数按8 个数为
一个周期如表格所示的规律排列，300=1+（37×8+3 ），余数为3 ，所以300 是
在列。

    2 3 4 5 9 8 7 6

    9. 91 观察拐弯处的数的规律，可得第个拐弯处的数：当为奇数时为 1+
（1+3+5+…+ ）；当为偶数时为 1+2×（1+2+3+…+ ）。

    将 =18代入，得91.

    10. 39700 观察右下角拐弯处的数的规律：第1 个拐弯处为1=12= （2 ×1-1
）2；第2 个拐弯处为9=32= （2 ×2-1 ）2 ；第3 个拐弯处为25=52=（2 ×3-1
）2；……。因此第个拐弯处的数为（2 -1）2.距中央正东100 千米处为他走到右
下角的第100 个拐点处再向北99千米处，故他共走了（2 ×100-1 ）2+99=39700
（千米）。

    11. 观察拐弯处的数的规律，可以得到个拐弯处的数，当为奇数时为1+（1+3+5+
…+ ）= （）2+1 ；当为偶数时为1+2 ×（1+2+3+…+ ）= （1+）× +1.（1 ）
第45次拐弯处的数是（）2+1=530.（2 ）试算 =89时，拐弯处的数是（）2+1=2026
；=88 时，拐弯处的数是（1+）× +1=1981；=87 时，拐弯处的数是（）2+1=1937
；所以1978~2010 中，恰在拐弯处的数是1981.

    12. 仔细观察十字框中的五个数里，中间一个是这五个数的平均值，也是其
余四个数的平均值，所以中间一个数可由500 ÷5=100 得到，且即得四个角上数
字这和为100 ×4=400.

    13. 通过观察列出编号与长度的关系表：编号  （1 ）（2 ）  （3 ）（4 ）
  （5 ）（6 ）  （7 ）（8 ）  （9 ）（10）  ……

    长度 1 2 3 4 5  ……

    从表中看出：长度为的线段编号为2 -1和2 . （1 ）编号为1994的线段长为
：1994÷2=997.（2 ）长度为1994的线段有两条，编号分别为：1994×2-1=3987
；1994×2=3988.

    14. 如果依照题意在上图中进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难
的。我们还应从最简单的情况入手分析，归纳出解决问题的规律，再用此规律解
题。

    如果是2 个数1 ，2 ，最后剩下1 ；如果是3 个数1 ，2 ，3 ，最后剩下3
；如果是4 个数1 ，2 ，3 ，4 ，最后剩下1 ；如果是5 个数1 ，2 ，3 ，4 ，
5 ，最后剩下3 ；如果是6 个数1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，最后剩下5 ；如果是
1-7 ，7 个数，最后剩下7 ；如果是1-8 ，8 个数，最后剩下1.我们发现当数的
个数是2 ，4 ，8 时，最后剩下的都是1.实际上，当数的个数为时（），当擦完
一圈后还剩个数，把问题化成个数的情况。不断作下去，最后化为2 个数的情况，
显然最后剩下的数为1.注意，1 为起始数。

    由于210=1024，211=2048， 210<1997<211 ， 1997-1024=973. 这就是说，
要剩210 个数，需要先擦去973 个数。按题意，每两个数擦去一个数，当擦第973
个数时，最后擦去的数是：973 ×2=1946. 下一个起始数是1947，所以，最后剩
下的数应是1947.