一、填空题1.下图中一共有（）条线段。

    2.如下图，O 为三角形A1A6A12 的边A1A12 上的一点，分别连结OA2 ，OA3 ，
…OA11，这样图中共有_____ 个三角形。

    3.下图中有_____ 个三角形。

    4.下图中共有_____ 个梯形。

    5.数一数（1 ）一共有（）个长方形。

    （2 ）一共有（）个三角形。

    （1 ）（2 ）

    6.在下图中，所有正方形的个数是______.

    7.在一块画有4 4 方格网木板上钉上了25颗铁钉（如下图），如果用线绳围
正方形，最多可以围出_____ 个。

    8.一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板，上面有4 4 个钉（如右图）。以
每个钉为顶点，你能用皮筋套出正方形和长方形共_____ 个。

    9.如下图，方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点的正方形共有_____ 个。

    10. 数一数，下图是由_____ 个小立方体堆成的。要注意那些看不见的。

    二、解答题11. 右图中共有7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小
三角形的个数之比。

    12. 下图中，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差
是多少？

    13. 现在都是由边长为1 厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2 厘
米、4 厘米、8 厘米、9 厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四
边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，
要组成这样4 个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多
少个？

    14. 将 ABC的每一边4 等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少
个平行四边形？

---------------答 案----------------------

    1. 30 由例1 注可知图形中每边有3+2+1=6 （条）线段，因此整个图形中共
有6 5=30条线段。

    2. 37 将 A1A6A12分解成以OA6 为公共边的两个三角形。 OA1A6中共有5+4+3+2+1=15
（个）三角形， OA6A12 中共有6+5+4+3+2 +1=21 （个）三角形，这样，图中共
有15+21+1=37（个）三角形。

    3. 15 这样的问题应该通过分类计数求解。此题中的三角形可先分成含顶点
C 的和不含顶点C 的两大类。含顶点C 的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在
线段BD上的两小类。分类图解如下：

    所以原图有（3+2+1 ）+ （3+2+1 ）+3 =15（个）三角形。

    4. 18 梯形一共有三行，每行都有3+2+1=6 （个），所以一共有6 3=18（个）

    梯形。

    5. 108，36（1 ）因为长方形是由长和宽组成的，因此可分别考虑所有长方
形的长和宽的可能种数。按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的
线段条数，将它们相乘就是所有长方形的个数。

    因为AB边上有8+7+6+…+2+1= =36 条线段，AD边上有2+1=3 条线段，所以图
中一共有36 3=108个长方形。

    （2 ）三角形一共有6 行，每行都有3+2+1=6 （个），所以一共有6 6=36
（个）三角形。

    6. 30 由例5 注可知整个图形中共有12+22+32+42=30个正方形。

    7. 50 此类问题一般用分类方法计数。对正方形的边长分八类计数如下：边
长为AB的正方形有16个；边长为AC的正方形有9 个；边长为AD的正方形有4 个；
边长为AE的正方形有1 个；边长为DF的正方形有9 个；边长为CF的正方形有8 个
；边长为BF的正方形有2 个；边长为CG的正方形有1 个。

    所以，最多可围出50个正方形。

    8. 44 因为正方形是特殊的长方形，所以可以把正方形看成长方形，这样就
不必分别求正方形和长方形的个数，仍用分类计数的方法求解。

    先考虑有一组对边平行于BC的长方形有多少个。这一类按其水平边的位置可
分为6 小类，即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC. 同样，其竖直边也分为6 类。

    所以这一类有6 6=36个长方形。

    另一类是没有边平行于BC的。这一类又分类两小类，分解图如下页图所示，
其中分别有6 个和2 个长方形。

    所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44 个。

    9. 21 以正方形的面积大小分类计数。

    设相邻两点的距离为1 ，则正方形面积为1 的有9 个；面积为2 的有4 个；
面积为5 的有2 个；面积为8 的有4 个；面积为13的有2 个；所以，共有9+4+2+4+2=21
个正方形。

    10. 30将原立体图形从左至右分类计算，共有11+7+5+7=30 个。

    11. 白色小三角形个数=1+2+3+ …+6= =21 ，黑色小三角形个数=1+2+3+ …

    +7= =28 ，所以它们的比= = . 12. 解法一本图中三角形的个数为（1+2+3+4 ）

    4=40（个）。下面求梯形的个数。梯形由两底唯一确定。首先在AB，CD，EF，
MN中，考虑两底所在的线段，共有（4 3 ） 2=6（种）选法；对上述四条线段中
确定的两条线段，共有10（10=4+3+2+1）个梯形。共60个梯形。故所求差为20.
解法二在图中可数出4 个三角形，6 个梯形，梯形比三角图形图形多2 个。而在
题图中，这种恰有10个。故题图中，梯形个数与三角形的个数之差为2 10=20
（个）。

    13. 边长2 厘米的正方形：2 2=4 （个）……红色边长4 厘米的正方形（4-1）

    4=12（个）……红色（4-2 ）（4-2 ）=4（个）……白色边长8 厘米的正方
形（8-1 ） 4=28 （个）……红色（8-2 ）（8-2 ）=36 （个）……白色边长9
厘米的正方形（9-1 ） 4=32 （个）……红色（9-2 ）（9-2 ）=49 （个）……
白色所以，红色小正方形共有4+12+28+32=76 （个）

    白色小正方形共有4+36+49=89（个）

    [ 注] 本题的要求是由边长为1 厘米的红色和白色两种正方形，分别组成边
长是2 厘米，4 厘米，8 厘米，9 厘米的大小不同的正方形，可以看作方阵问题
来解。四周的小正方形是涂红色的，可看成是空心方阵，因此，涂红色正方形的
个数等于4 （n-1 ）。其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵，所以，涂白
色的正方形的个数等于（n-2 ）（n-2 ）。比如，由边长为1 厘米的正方形组成
边长为9 厘米的正方形，涂红色的小正方形的个数是：4 （9-1 ）=32 （个），
涂白色的小正方形的个数是：（9-2 ）（9-2 ）=49 （个）。

    14. 将平行四边形分为三类：①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；
③尖角在左上、右下方。

    就第①类而言：型6 个；型3 个，与其对称的3 个；型1 个，与其对称的1
个；型1 个；共15个。同理，第②、③类也分别含15个，故上述三类平行四边形
共45个。

    [ 注] 这样数平行四边行，很麻烦，又易出错。我们试图找到一种对应关系
：先考虑任一边不与BC平行的平行四边形，延长各边必与BC有4 个交点，特殊情
况下，第二个交点与第三个交点重合；反过来，BC上的任意四点或三点决定一个
平行四边形，也就是说，边不与BC平行的平行四边形的个数与BC上的四交点组和
三交点组的数目一样多。

    由于BC上有5 个交点，其中可构成5 个4 点组；10个3 点组，即边不平行于
BC的平行四边形有15个。

    同理分别考虑边不平行AB、CD的平行四边行。

    由此可知，共有45个平行四边形。