求14389 除以7 的余数。

    解：同余的性质能使" 大数化小" ，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的
性质化大为小。这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平
方，找找有什么规律。

    解法1 ：∵143 ≡3 （mod7）

    ∴14389 ≡389 （mod 7 ）

    ∵89＝64+16+8+1

    而32≡2 （mod 7 ），

    34≡4 （mod7），

    38≡16≡2 （mod 7 ），

    316 ≡4 （mod 7 ），

    332 ≡16≡2 （mod 7 ），

    364 ≡4 （mod 7 ）。

    ∵389 ≡364.316.38.3≡4 ×4 ×2 ×3 ≡5 （mod 7 ），

    ∴14389 ≡5 （mod 7 ）。

    答：14389 除以7 的余数是5.

    解法2 ：证得14389 ≡389 （mod 7 ）后，

    36≡32×34≡2 ×4 ≡1 （mod 7 ），

    ∴384 ≡（36）14≡1 （mod 7 ）。

    ∴389 ≡384.34.3≡1 ×4 ×3 ≡5 （mod 7 ）。

    ∴14389 ≡5 （mod 7 ）。