在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。

    “最大”、“最小”是同学们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中屡
次出现求最值问题，但一些学生感到束手无策。

    一、枚举法

    例1 一把钥匙只能开一把锁，现在有4 把钥匙4 把锁。但不知哪把钥匙开哪
把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？

    （北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）

    分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3 把还未成功，则第4 把不用试
了，它一定能打开这把锁，因此需要3 次。同样的道理开第二把锁最多试2 次，
开第三把锁最多试1 次，最后一把锁则不用再试了。这样最多要试的次数为：3
＋2 ＋1=6 （次）。

    二、综合法

    例2 x3=84A（x 、A 均为自然数）。A 的最小值是______. （1997年南通市
数学通讯赛试题）

    分析与解根据题意，84A 开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解
质因数，得84=2×2 ×3 ×7 ，因此x3=2×2 ×3 ×7 ×A ，其中A 的质因数至
少含有一个2 、两个3 、两个7 ，才能满足上述要求。

    即A 的最小值为（2 ×3 ×3 ×7 ×7=）882.

    三、分析法

    例3 一个三位数除以43，商是a ，余数是b ，（a 、b 均为自然数），a ＋
b 的最大值是多少？

    （广州市五年级数学竞赛试题）

    分析与解若要求a ＋b 的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a 、b 尽
可能大。由乘除法关系得

    43a ＋b=一个三位数

    因为b 是余数，它必须比除数小，即b ＜43b 的最大值可取42.

    根据上面式子，考虑到a 不能超过23. （因为24×43＞1000，并不是一个三
位数）

    当a=23时，43×23＋10=999，此时b 最大值为10.

    当a=22时，43×22＋42=988，此时b 最大值为42.

    显然，当a=22，b=42时，a ＋b 的值最大，最值为22+42=64.

    四、公式法

    例4 两个自然数的和为18，那么，这两个自然数的积的最大值为多少？（广
州市小学数学竞赛试题）

    分析与解设两个正数分别为a 、b ，它们有以下几种关系，a ＋b ≥值，运
用此公式，本题迎刃而解。

    即这两个自然数的积的最大值为81.

    五、图表法

    例5 某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9 个停车站。如果这辆公共
汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一站
正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座
位多少个？

    （北京市“迎春杯”数学竞赛试题）

    分析与解根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表
如下：

    从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时
人数为

    （10＋9 ＋8 ＋7 ＋6 ）- （1 ＋2 ＋3 ＋4 ）=30 （人）

    所以这辆汽车至少应有座位30个。

    最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种常
见的解题方法。