（韩信点兵）有兵3 万多，若均分成5 营，则余1 人；均分成6 营，则余5
人；均分成7 营，则余4 人；均分成11营，则余10人；均分成13营，则余5 人。

    求兵数。

    这是我国古代的一道著名算题，用有关同余的理论来解答此题比较简便，但
用整除的知识来解答确也是一个好方法。

    解设兵数为x ，由题目可知：

    ①30000 ＜x ＜40000

    ②“均分成5 营，则余1 人”使我们知道：x 的末尾数字是1 或6 ，然后又
均分成6 营，余5 人，因5 是奇数，6 是偶数，所以x 末尾数字不可能为6 ，只
可能为1.

    抓住“均分成6 营，则余5 人”和“均分成13营，则余5 人”就得到：13|
（x-5 ）、6|（x-5 ），因（13，6 ）=1，所以78| （x-5 ），且经计算商的范
围在385 和512 之间，若设商为n ，那么兵数x 可以表示为78n ＋5 （385 ≤n
≤512 ），x 的末尾数字是1 ，那么x-5 的末尾数字一定是6 ，（x-5 ）÷78的
商n 的末尾数字也只能是2 或7 ，这就是说x 可能为：30191 、30581 、30971 、
31361 、31751 、32141 ……39941 （相邻两数之差是390 ）。但由于“均分成
7 营，则余4 人；均分成11营，则余10人”，因此还得将以上的数检验一下，为
了方便起见，可用数的整除特征来检验。当检验得知32141 符合题意时，还得继
续往下检验，因为有可能不止这一个数，但不必重复前面的步骤。具体做法如下
：32141-10=32131，又32131 ＋390m＜40000 ，则m ≤20，已知11|32131，如11|390m，
就有11|32131＋390m，仅当m=11时。则从中可知36431 除以11余10，但用来除以
7 时并不余4 ，而是余3 ，表明x=36431 是不符合题意的。由此就可确定此题有
唯一解，即x=32141.