勾股定理证明方法之一的培利加剖分（ Perigal‘s dissection）在《数学
乐园。茅塞顿开》中已经描述过，但因为勾股定理是相当重要的定理，故在此再
特别举出一些可行的证明方法，供读者做比较。

    下面列举的前3 个方法非常类似，而且都需要利用到4 个全等的直角三角形。

    请将它们从卡片中剪下，并且实际练习看看。

    （1 ）如图1 所示，将4 个三角形排成边长为a ＋b 的正方形4BCD，使中间
留下边长c 的一个正方形洞（阴影部分）。

    画出正方形ABCD. 现在移动三角形至图2 所示的位置中，于是留下了边长分
别为a 与b 的两个正方形洞。这么一来，图1 和图2 中的阴影部分面积必定相等，
所以

    c2=a2+b2

    （2 ）此证明以图1 为基础：

    正方形ABCD的面积= 阴影部分正方形的面积+4个三角形的面积

    得出 a2+b2=c2

    （3 ）这次将4 个直角三角形的直角部分朝内放，排成一个边长为c 的正方
形PQRS（见图3 ），中间的洞（阴影部分）则是边长为b －a 的正方形。

    正方形PQRS的面积= 阴影部分正方形的面积+4个三角形的面积

    得出 c2=a2+b2

    （4 ）此证明于1860年首次发表，同样也是着眼于使面积相等的概念。这题
与上述的第一、第二个方法有颇多类似之处。

    正方形ABNL的面积

    = 正方形KCOM的面积－4 个三角形的面积

    = 正方形DFHI的面积－4 个三角形的面积

    = 正方形DFHI的面积－长方形ACBI的面积－长方形CEFC的面积

    = 正方形ADEC的面积+ 正方形BCGH的面积故可得

    c2=b2+a2

    （5 ）介绍了许多几何变换的方法后，这里要以有趣的切变换（shearing transformation）

    为基础来证明勾股定理。参见图 5.

    将以BC为边的正方形斜切至右方，并将以AC为边的正方形向上切至与直线CD
相连。（要记住，切变换使面积保持不变。）然后再将图形沿直线DC切换，直到
图形抵达直线AB为止，这时图形变成正方形ABEF.

    以AB为边的正方形面积= 以BC为边的正方形面积+ 以AC为边的正方形面积

    所以 c2=a2+b2

    （6 ）此证明有时会利用相似三角形来解释，但参考图6 用三角函数来证明
会更容易些。

    AB=AN+NB

    c=b cos θ+a cosφ

    将上式等号两边同时乘以c ，则得

    c2=b2+a2

    （7 ）勾股定理最令人满意的证明之一就是用向量来证明，参见图7 所示。

    c2=c.c= （a+b ）。（a+b ）=a.a+2a.b+b.b=a2+b2

    因为 a⊥b

    所以a.b=0