1.三维圈叉游戏

    这是一个培养儿童形成空间概念的极佳游戏。也可以在纸上画出4 ×4 的方
格以代表4 层棋盘，而用筹码来玩，但除非是最聪明的儿童，否则这样玩是非常
困难的。

    角落中的棋子可控制7 条直线。

    位于边缘的棋子可控制4 条直线。

    位于上层或下层中央4 个洞内的任何一个棋子可控制4 条直线。

    位于中间两层中央4 个洞内的任何一个棋子可控制7 条直线。

    4 个棋子共有76条可能连成的直线。在每一层，与边平行的直线有8 条，再
加上2 条对角线，所以每一层水平的直线就有10条，4 层总共就有40条。还有16
条垂直线，4 条长对角线，以及在8 个垂直面中，每个面上的2 条对角线。

    能挡住所有线的最少棋子数应该是19.

    在任何一层，所有的水平线都可以用如图1 所示的两种方式之一加以阻挡。

    在第一种方式中棋子的排列呈对称形，看起来很好用，其实功效不大。第二
种方式只要能恰当地加以运用，则在每一层除了3 条长对角线之外，可以挡住所
有线；然后再加3 个棋子以阻挡长对角线，即得出19的总数（图2 ）。但这种解
答缺乏经常在此种问题中可以找到的对称性，所以希望读者能够找到更令人满意
的答案，甚至找到使用更少棋子的解答。

    2.可拼出哪些长方形

    无法拼出更小的正方形。显然不可能拼出2 ×2 的正方形，面积为9 平方单
位的3 ×3 正方形也不可能由面积为4 平方单位的形状组合而成。

    下面的图中组合出5 ×4 、6 ×4 、7 ×4 、8 ×4 与9 ×4 的长方形。从
前3 个图可以看出如何从一个解推演出另一个解，而从8 ×4 的长方形中则可以
看出要利用到180 °旋转对称。这些解都不是唯一解。例如，将5 ×4 的解放在
4 ×4 的解的旁边，就可以得到另一种9 ×4 的解。当n ≥4 时，所有n ×4 的
长方形都是可能拼出来的，我们很容易就可看出，这可以将上述已知的解组合在
一起而得到。由于产品形状的面积为4 平方单位，故只需要考虑面积为4n平方单
位的形状，这就排除了拼出5 ×3 与6 ×5 的长方形，以及面积为210 平方单位
长方形的可能性。

    3.八边形练习

    从折纸法中可以看出正八边形所具有的对称性。在折起的纸上剪出图案，再
将纸展开，并仔细观察图案的形式，更容易看出正八边形的对称性。

    正八边形有8 条对称线，4 条经过相对的顶点，4 条经过对边的中点。

    分割谜题的解答如图所示。作第二个图形时所用的65°角是个很实用的近似
值，读者可以求出精确的角度。

    4.分割问题

    图1 说明如何将正方形的镶嵌图案置于十字形的镶嵌图案之上，从而得到希
腊十字形的第二种分割方法。

    将正方形置于H 形之上，从而找出适当的分割方式，如图2 所示。

    另一种十字形则可以很整齐地组合成镶嵌图案，而且只要连接这些十字形的
中心，就可以得到正方形的镶嵌图案，而这个图案将十字形巧妙地分割成4 个相
等的部分，参见图3.

    由于T 字形缺乏对称性，因此这是个较棘手的问题，但从图4 所示的镶嵌图
案中可导出不同的分割方式，图4 即包含其中两种。

    这种镶嵌图案的技巧并不仅限于直线的图形中，如图5.图中的瓮状镶嵌图案，
同样可以用一组正方形图案来说明，用两条直线就能将瓮分割成可以重组为一个
正方形的4 个部分（请参见《数学乐园。茅塞顿开》第86题）。

    所有的12种五连形（《数学乐园。茅塞顿刑第76题）都可以作镶嵌图案，练
习将形状分割再组合成正方形，这是个很好的开始。不过还是可以看看你还能发
现什么，因为有无限多种可能。

    图6 说明了如何将H 形分成4 个完全一样的部分，而且能重新组成两个H.

    只用一条直线就将长方形分成可重组为一正方形的两个部分，则此长方形的
长必为其宽的4 倍，如图7 所示。

    其他长方形则可以用阶梯式的分割方法分成两个可重组为正方形的部分，如
图8 所示16×9 的长方形。这种方法对于其他哪些长方形也适用呢？

    罗以德分割问题的解如图9 所示。

    5.平行四边形的面积

    老师可利用一节课的时间让学生制作这组模型，这会给学生留下极深的印象，
教学效果远胜于用形式化的证明来导出结果。老师可以用较大的模型做示范，不
过一定要让学生亲自动手做。