36. 自行车的齿轮

    研究显示，齿轮比与比例因子对儿童而言算是相当难理解的概念，可以从实
用的角度来着手，尽量激发儿童应用数学的兴趣。

    巴特勒自行车的齿轮比如下表所示：

    女式自行车的齿轮比依序为：

    链条在大齿盘间做过5 次转换（如箭头处所示）。男式自行车则需要做7 次
转换：

    加装了后轴变速系统的自行车，其齿轮比如下表所示：

    拥有4 个链轮的飞轮之轴齿轮比逼近于有27、23、18与14齿的FW轮轴的后轴
变速系统。

    同时具有两种变速系统的自行车，理论上会有50种可能的齿轮比，调速范围
更大。

    你可以自己走一趟自行车商店，试着去收集各种不同自行车的资料。

    37. 透视立体图形

    作者于多年前在一堂艺术课中发掘出此类问题，并认为其结构、概念也适用
于数学课程，它可以刺激对三维空间（立体）的想象力，且协助孩子将三维空间
的物体以二维空间（平面）的图形呈现出来。

    最初可从铁丝衣架等具体的实物着手，而聪明一点的孩子则可运用想象力构
筑出不同的结构。

    38. 回文数的终点

    有许多二位数具有此性质。设十位数字为a ，个位数字为b ，将二位数记为
ab. 只要a ＋b ≤9 ，就可得到回文数。例如：

    25+52 ＝77，32+23 ＝55，18+81 ＝99

    任何二位数cd，只要c ＋d ＝11，均可推得121.例如：

    29+92 ＝121 ，47+74 ＝121 ，56+65 ＝121

    39. 反转

    利用试误法可找到许多解答，但要彻底了解此问题，则需要分析一下。

    我们先考虑下列的乘法：

    因为乘积是五位数，g ≤9 、k ≤9 ，而且在每一位数并不牵涉到进位的问
题，所以对每一位数字（g 、h 、i 、j 、k ）而言，下列式子为必要条件：

    ad≤9

    ae+bd ≤9

    af＋be＋cd≤9

    bf＋ce≤9

    cf≤9

    这意味着如果a ＝2 ，则d 、e 、f ≤4 ，所以满足条件的大部分解，其每
一位数的数字将很小。但是大数字的解也可能存在，例如：

    891 ×101 ＝89991

    198 ×101 ＝19998

    另外还有一些解答为：

    123 ×101 ＝12423 123 ×102 ＝12546 100 ×900 ＝90000

    321 ×101 ＝32421 321 ×201 ＝64521 001 ×009 ＝00009

    40. 循环

    这是一个相当有趣的题目，而且对各种程度的人都适用。对基础程度者而言，
只要会做除法的计算即可。但要找出本题要求的形式，却需要做许多的假设和试
验。

    当除以2 时，不论起始数字是多少，都会出现相同顺序（从环状来看）的18
个数字。

    当除以3 时，要得出类似的形式，则必须是一个28位数字的循环序列，如下
所示：

    上述这些环状的长度与数字序列使人联想到循环小数（参见《数学乐园。茅
塞顿开》第126 题）。用计算器做一连串的试验之后，你将发现，除以2 、3 和
4 得到的循环序列，会分别与除以19、29与39所得到的循环序列相同。但我们如
何找出其间的关系呢？

    可考虑

    如果在一个循环之后接着重复写上几个循环，并在1 的后面加上一个小数点，
则除式变成：

    设

    x ＝0.025641025641…

    则除式可写为下列形式：

    故

    40x ＝1+x

    显然地，类似的论证可应用至所有的除法中，并可表示出其与循环小数的关
系。