31. 推销员的旅程问题

    这类问题非常值得讨论，因为它们与实际生活密切相关。虽说问题本身很简
明，但令人困惑的是，至今没有得出任何解析解。

    李文黛的最短路径为91英里，她的行程如下所示：

    如果把汉尼顿列入行程中，则最短行程为：艾克塞特→欧卡汉顿→克雷顿→
提文顿→卡林顿→汉尼顿→艾克茅兹→艾克塞特，总里程数为100 英里。

    因为最短行程的各路线彼此不相交错，故其行程为一简单封闭曲线，所以不
论以哪一个城镇作为起点及终点，其里程数均相等。但是如果起点和终点可以在
不同的城镇，那么只要将整个行程颠倒过来（依原行程反向而行），以艾克塞特
为起点，欧卡汉顿为终点，则可节省23英里的路程。

    找到走完“十岩”的最短路径是相当有趣的问题。作者相信上图所示的路径
为最短路径，但读者也可提出反驳（注意：高度的变化、横越河流与地势的差异
都是健行者考虑的因素）。最短的路径为16.6英里。

    在寻找最短路径时，需要了解如果从A 到B 的路径由A 、B 两点的直线改为
经过中间点P ，可能会使路程增加。如果∠APB 不比180 °小很多，则几乎可以
忽略增加的路程；但当∠APB 为锐角时，则路程将会显著增加。参考上列的路线
图，并比较由克兰密尔池经荒野岩到悬石岩，以及由毛皮岩经野兔岩到布雷克岩
这两小段路径因为经过中间点而增加的里程。

    33. 寻找宝藏

    将坐标变换与寻宝图结合，使这个数学问题变得更加有趣了。在解决了几个
问题之后，你可以试着自己设计藏宝图与线索。

    此题的宝藏位在（7 ，3 ），每一条线索所指示的地点为：

    （1 ）→（1 ，3 ）（2 ）→（4 ，3 ）（3 ）→（4 ，7 ）（4 ）→（6 ，
7 ）

    （5 ）→（8 ，5 ）（6 ）→（5 ，8 ）（7 ）→（11，7 ）（8 ）→（7 ，
3 ）

    34. 平行线的限制

    此题并不需要使用三角学的知识去计算三角形的大小。

    先在直线l 上任取一点A 点，然后用描图纸和一个量角器将3 条平行线l 、
m 、n 自定点A 逆时针旋转60°，而得出l ＇、m ＇、n ＇这3 条平行线（图1 ）。

    这个旋转将自动地映射三角形的AC边，而作出AB边的图（参见第69页的图形）。
换言之，C 映成B ，所以经过C 点的直线n 将映成经过B 点的直线，所以B 点为
直线n ＇与m 的交点。在找到AB边之后，很容易完成等边三角形ABC.以A 点为中
心，依顺时针方向旋转60°，则可找出C 点就是直线m ＇与n 的交点。

    要作出顶点分别落在平行四边形的4 条边上的正方形也可以利用旋转来处理。
这个问题可以利用90°旋转来解。

    在图2 中的平行四边形PQRS内有一个正方形ABCD，图3 显示出PQRS对其中心
旋转90°后的情形。这时正方形的4 个顶点可由下列直线的交集清楚地定义出来
：

    A ＝PQ∩S ＇P ＇，B ＝QR∩P ＇Q ＇

    C ＝RS∩Q ＇R ＇，D ＝SP∩R ＇S ＇

    使用描图纸来辅助P ＇Q ＇R ＇S ＇的绘图，可直接作出正方形ABCD的图形。

    图4 显示出正方形的两个顶点落在平行四边形之外的情形，这个问题是要你
找出顶点落在两对相交的平行线上的正方形。

    35. 盒子游戏

    许多孩子都很喜欢玩这个游戏，教师们不妨把它作为指派给学生的第一份研
究作业。“假设…，会怎么样？”这类问题对孩子而言应不至于太困难，他们可
以借此课题做一些简单的分析练习。