例1 比较下面两个积的大小：

    A ＝987654321 ×123456789 ，

    B ＝987654322 ×123456788.

    分析经审题可知A 的第一个因数的个位数字比B 的第一个因数的个位数字小
1 ，但A 的第二个因数的个位数字比B 的第二个因数的个位数字大1.所以不经计
算，凭直接观察不容易知道A 和B 哪个大。但是无论是对A 或是对B ，直接把两
个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A 和B 先进行恒等变形，再作判
断。

    解： A＝987654321 ×123456789

    ＝987654321 ×（123456788 ＋1 ）

    ＝987654321 ×123456788 ＋987654321.

    B ＝987654322 ×123456788

    ＝（987654321 ＋1 ）×123456788

    ＝987654321 ×123456788 ＋123456788.

    因为 987654321＞123456788 ，所以 A＞B.

    例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由。

    241 ×249 242 ×248 243 ×247

    244 ×246 245 ×245.

    解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断。

    241 ×249 ＝（240 ＋1 ）×（250 —1 ）＝240 ×250 ＋1 ×9 ；

    242 ×248 ＝（240 ＋2 ）×（250 —2 ）＝240 ×250 ＋2 ×8 ；

    243 ×247 ＝（240 ＋ 3）×（250 — 3）＝ 240×250 ＋3 ×7 ；

    例3 求 1966 、 1976 、 1986 、 1996 、 2006 五个数的总和。

    解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均
值，故其总和为：

    1986×5 ＝9930.

    例4 2 、4 、6 、8 、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320 ，
求它们中最小的一个。

    解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5 ＝64，因相邻偶数相差2 ，故
这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.

    总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法。三个连续自然数，中间一
个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是
五个自然数的平均值。如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x －2 、
x —1 、x 、x ＋1 、x ＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是
所有这些自然数的平均值。

    如：对于2n＋1 个连续自然数可以表示为：x —n ，x —n ＋1 ，x －n ＋
2 ，…， x—1 ， x， x＋1 ，…x ＋n —1 ，x ＋n ，其中 x是这2n＋1 个自
然数的平均值。

    巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题。

    例5 将1 ～1001各数按下面格式排列：

    一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：

    ①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由。

    解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即
中数。又因横行相邻两数相差1 ，是3 个连续自然数，竖列3 个数中，上下两数
相差7.框中的九个数之和应是9 的倍数。

    ①1986不是9 的倍数，故不行；

    ②2529÷9 ＝281 ，是9 的倍数，但是281 ÷7 ＝40×7 ＋1 ，这说明281
在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；

    ③1989÷9 ＝221 ，是9 的倍数，且221 ÷7 ＝31×7 ＋4 ，这就是说221
在数表中第四列，它可做中数。这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且
最大的数是229 ，最小的数是213.

    这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广。同学们，小小的月历卡
上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验。

    244 ×246 ＝（240 ＋4 ）×（250 —4 ）＝240 ×250 ＋4 ×6 ；

    245 ×245 ＝（240 ＋5 ）×（250 — 5）＝240 ×250 ＋5 ×5.

    恒等变形以后的各式有相同的部分 240× 250，又有不同的部分 1×9 ， 2
×8 ， 3×7 ， 4×6 ， 5×5 ，由此很容易看出 245×245 的积最大。

    一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，
这两部分的乘积越大。

    如：10＝1 ＋9 ＝2 ＋8 ＝3 ＋7 ＝4 ＋6 ＝5 ＋5

    则5 ×5 ＝25积最大。