二、例题

    例1 三个连续自然数的乘积是210 ，求这三个数。

    解：∵210=2 ×3 ×5 ×7

    ∴可知这三个数是5 、6 和7.

    例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？

    解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：

    40=17+23=11 ＋29=3+37.

    ∵17×23＝391 ＞11×29＝319 ＞3 ×37＝111.

    ∴所求的最大值是391.

    答：这两个质数的最大乘积是391.

    例3 自然数123456789 是质数，还是合数？为什么？

    解：123456789 是合数。

    因为它除了有约数1 和它本身外，至少还有约数3 ，所以它是一个合数。

    例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？

    解：如果这连续的九个自然数在1 与20之间，那么显然其中最多有4 个质数
（如：1 ～9 中有4 个质数2 、3 、5 、7 ）。

    如果这连续的九个自然中最小的不小于3 ，那么其中的偶数显然为合数，而
其中奇数的个数最多有5 个。这5 个奇数中必只有一个个位数是5 ，因而5 是这
个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4 个奇数都是质数。

    综上所述，连续九个自然数中至多有4 个质数。

    例5 把5 、6 、7 、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

    解：∵5=5 ，7=7 ，6=2 ×3 ，14＝2 ×7 ，15=3×5 ，

    这些数中质因数2 、3 、5 、7 各共有2 个，所以如把14

    （=2×7 ）放在第一组，那么7 和6 （=2×3 ）只能放在第二组，继而15
（＝3 ×5 ）只能放在第一组，则5 必须放在第二组。

    这样14×15=210=5×6 ×7.

    这五个数可以分为14和15，5 、6 和7 两组。

    例6 有三个自然数，最大的比最小的大6 ，另一个是它们的平均数，且三数
的乘积是42560.求这三个自然数。

    分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000
，远大于42560. 因此，要求的三个自然数在30～40之间。

    解：42560=26×5 ×7 ×19

    ＝25×（5 ×7 ）×（19×2 ）

    ＝32×35×38（合题意）

    要求的三个自然数分别是32、35和38.

    例7 有3 个自然数a 、b 、c.已知a ×b=6 ，b ×c=15，

    a ×c ＝10. 求a ×b ×c 是多少？

    解：∵6 ＝2 ×3 ，15=3×5 ，10＝2 ×5.

    （a ×b ）×（b ×c ）×（a ×c ）

    = （2 ×3 ）×（3 ×5 ）×（2 ×5 ）

    ∴a2×b2×c2=22 ×32×52

    ∴（a ×b ×c ）2 ＝（2 ×3 ×5 ）2

    a ×b ×c=2 ×3 ×5 ＝30

    在例7 中有a2＝22，b2=32 ，c2=52 ，其中22=4，32＝9 ，52＝25，像4 、
9 、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平
方数或叫做平方数。

    如。12=1，22＝4 ，32＝9 ，42=16 ，…，112=121 ，122=144 ，…其中1 ，
4 ，9 ，16，…，121 ，144 ，…都叫做完全平方数。

    下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有
什么特征。

    例如：把下列各完全平方数分解质因数：

    9 ，36，144 ，1600，275625.

    解：9=3236=22 ×32144=32×24

    1600=26 ×52275625=32 ×54×72

    可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。

    反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那
么这个自然数一定是完全平方数。

    如上例中，36＝62，144=122 ，1600=402，275625=5252.

    例8 一个整数a 与1080的乘积是一个完全平方数。求a 的最小值与这个平方
数。

    分析∵a 与1080的乘积是一个完全平方数，

    ∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

    解：∵1080×a=23×33×5 ×a ，

    又∵1080=23 ×33×5 的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，

    ∴a 必含质因数2 、3 、5 ，因此a 最小为2 ×3 ×5.

    ∴1080×a ＝1080×2 ×3 ×5 ＝1080×30＝32400.

    答：a 的最小值为30，这个完全平方数是32400.

    例9 问360 共有多少个约数？

    分析360=23×32×5.

    为了求360 有多少个约数，我们先来看32×5 有多少个约数，然后再把所有
这些约数分别乘以1 、2 、22、23，即得到23×32×5 （=360）的所有约数。为
了求32×5 有多少个约数，可以先求出5 有多少个约数，然后再把这些约数分别
乘以1 、3 、32，即得到32×5 的所有约数。

    解：记5 的约数个数为Y1，

    32×5 的约数个数为Y2，

    360 （=23 ×32×5 ）的约数个数为Y3. 由上面的分析可知：

    Y3=4×Y2，Y2＝3 ×Y1，

    显然Y1=2（5 只有1 和5 两个约数）。

    因此Y3＝4 ×Y2=4×3 ×Y1=4×3 ×2=24.

    所以360 共有24个约数。

    说明：Y3=4×Y2中的“4 ”即为“1 、2 、22、23”中数的个数，也就是其
中2 的最大指数加1 ，也就是360 ＝23×32×5 中质因数2 的个数加1 ；Y2=3×
Y1中的“3 ”即为“1 、3 、32”中数的个数，也就是23×32×5 中质因数3 的
个数加1 ；而Y1=2中的“2 ”即为“1 、5 ”中数的个数，即23×32×5 中质因
数5 的个数加1.因此

    Y3＝（3 ＋1 ）×（2+1 ）×（1+1 ）=24.

    对于任何一个合数，用类似于对23×32×5 （=360）的约数个数的讨论方式，
我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

    一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）
加1 的连乘的积。

    例10求240 的约数的个数。

    解：∵240 ＝24×31×51，

    ∴240 的约数的个数是

    （4 ＋1 ）×（1+1 ）×（1 ＋1 ）=20 ，

    ∴240 有20个约数。

    请你列举一下240 的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？