1.从1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 中选出一些数（至少选一个，不能不
选），使它们的和为4 的倍数，一共有几种方法？

    解答：先从3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 中随便选几个（可以不选）。之后根据
在3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 中选出数的和除以4 的余数来决定选不选1 ，2 ，方
法如下：若那个和除以4 余1 则1 ，2 都选；余2 则选2 不选1 ；余3 则选1 不
选2 ；余0 则都不选。这样总共有2 的6 次方共64种方法，但是其中有一种一个
数都不选的方法，需要去掉，故满足条件的选法有63种。

    2.一个回文数是指从首位数读到末位数，与从末位数读到首位数都相同的数
（例如：11511 ，22222 ，10001 ）。请问可被11整除的五位数的回文数个数与
全部五位数的回文数的个数之比是多少？答案请用最简分数表示。

    解答：五位回文数的一般形式为ABCDE ，所以五位回文数共有9 ×10×10=900
个。若五位回文数能被11整除，则2a+c与2b的差是11的倍数，即2a+c－2b=11 ，
2a+c－2b=22 ，2b－（2a+c）=11 或2b=2a+c.

    若2a+c－2b=11 ，则c 为奇数，当c=1 时，a －b=5 ，b=0 ，1 ，2 ，3 ，
4 ；当c=3 时，a －b=4 ，b=0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ；当c=5 时，a －b=3 ，
b=0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ；当c=7 时，a －b=2 ，b=0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，
5 ，6 ，7 ；当c=9 时，a －b=1 ，b=0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8.共
35个数。

    若2a+c－2b=22 ，则c 为偶数，且不小于4 ，当c=4 时，a －b=9 ，b=0 ；
当c=6 时，a －b=8 ，b=0 ，1 ；当c=8 时，a －b=7 ，b=0 ，1 ，2.共6 个数。

    若2b－（2a+c）=11 ，则c 为奇数，当c=1 时，b －a=6 ，a=1 ，2 ，3 ；
当c=3 时，b －a=7 ，a=1 ，2 ；当c=5 时，b －a=8 ，a=1 ；c=7 或9 时，a
和b 无法同时为1 位数，所以共有6 个数。

    若2b=2a+c ，则c 为偶数，当c=0 时，a=b ，a=1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，
7 ，8 ，9 ；当c=2 时，b=a+1 ，a=1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ；当c=4
时，b=a+2 ，a=1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ；当c=6 时，b=a+3 ，a=1 ，2 ，
3 ，4 ，5 ，6 ；当c=8 时，b=a+4 ，a=1 ，2 ，3 ，4 ，5.共35个数。

    所以能被11整除的五位回文数有35+6+6+35=82个，与全部五位回文数的个数
之比为41/450