22. 小猴子数桃子

    猴子妈妈采来了一篮桃子，她让小猴子数一数共采了多少桃子。小猴子3 个
3 个地数，最后多出1 个，它就把多出的一个扔在一边；它又5 个5 个地数，到
最后还是多出一个，它又把多出的1 个扔在一边；最后它7 个7 个地数，还是多
出1 个。它数了三次，到底有多少桃子，还是不清楚。小朋友，你知道这篮子里
至少有多少个桃子吗？

    分析与解

    本题可概括为“一个数用3 除余1 ，用5 除余2 ，用7 除余3 ，这个数最小
是多少？”

    我们从余数开始逆推：由于用3 除余1 ，所以这个数为3n+1（n 为正整数）。

    要使3n+1这个数继而满足用5 除余2 的条件，可用n=1 ，2 ，3 ……来试代，
发现当n=2 时，3 ×2+1=7 满足条件。

    由于15能被3 和5 整除，所以15m+7 这些数（m 为正整数），也能满足用3
除余1 ，用5 除余2 这两个条件。

    在15m+7 中选择适当的m ，使之用7 除得到的余数为3.也是采取试代的方法，
试代的结果得出：当m=3 时满足条件。

    这样15×3+7= 52 为所求的答案，也就是说这篮桃子至少有52个。

    对于这类用3 、5 、7 三个数来除分别得到不同余数的题目，有没有一个解
答的规律呢？有。我国有个著名的余数定理，它可以用四句诗来形象地记忆。

    三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，抛五去百便得知。

    这四句诗叫“孙子点兵”歌，外国称它为“中国剩余定理”。这首诗的意思
是：70乘上用3 除所得的余数，21乘上用5 除所得的余数，15乘上用7 除所得的
余数，然后把这三个乘积加起来，其和加或减105 的整数倍，就可以得到所需要
的数了。

    现在我们回到本题，并运用上述办法求解。由于用3 除余1 ，用5 除余2 ，
用7 除余3 ，所以，70×1+21×2+15×3 =70+42+45 =157因为要求的是最小值，
所以157-105 =52