一、基本概念和知识

    1.整除——约数和倍数

    例如：15÷3=5 ，63÷7=9

    一般地，如a 、b 、c 为整数，b ≠0 ，且a ÷b=c ，即整数a 除以整除b
（b 不等于0 ），除得的商c 正好是整数而没有余数（或者说余数是0 ），我们
就说，a 能被b 整除（或者说b 能整除a ）。记作b ｜a.否则，称为a 不能被b
整除，（或b 不能整除a ），记作ba.

    如果整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。

    例如：在上面算式中，15是3 的倍数，3 是15的约数；63是7 的倍数，7 是
63的约数。

    2.数的整除性质

    性质1 ：如果a 、b 都能被c 整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

    即：如果c ｜a ，c ｜b ，那么c ｜（a ±b ）。

    例如：如果2 ｜10，2 ｜6 ，那么2 ｜（10＋6 ），

    并且2 ｜（10—6 ）。

    性质2 ：如果b 与c 的积能整除a ，那么b 与c 都能整除a.即：如果bc｜a ，
那么b ｜a ，c ｜a.

    性质3 ：如果b 、c 都能整除a ，且b 和c 互质，那么b 与c 的积能整除a.

    即：如果b ｜a ，c ｜a ，且（b ，c ）=1，那么bc｜a.

    例如：如果2 ｜28，7 ｜28，且（2 ，7 ）=1，

    那么（2 ×7 ）｜28.

    性质4 ：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a.

    即：如果c ｜b ，b ｜a ，那么c ｜a.

    例如：如果3 ｜9 ，9 ｜27，那么3 ｜27.

    3.数的整除特征

    ①能被2 整除的数的特征：个位数字是0 、2 、4 、6 、8 的整数。“特征”

    包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0 ）的整数，必能被2
整除；另一方面，能被2 整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0 ）。下面
“特征”

    含义相似。

    ②能被5 整除的数的特征：个位是0 或5.

    ③能被3 （或9 ）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3 （或9 ）整除。

    ④能被4 （或25）整除的数的特征：末两位数能被4 （或25）整除。

    例如：1864=1800 ＋64，因为100 是4 与25的倍数，所以1800是4 与25的倍
数。又因为4 ｜64，所以1864能被4 整除。但因为2564，所以1864不能被25整除。

    ⑤能被8 （或125 ）整除的数的特征：末三位数能被8 （或125 ）整除。

    例如：29375 ＝29000 ＋375 ，因为1000是8 与125 的倍数，所以29000 是
8 与125 的倍数。又因为125 ｜375 ，所以29375 能被125 整除。但因为8375，
所以829375.

    ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数
字之和的差（大减小）是11的倍数。

    例如：判断123456789 这九位数能否被11整除？

    解：这个数奇数位上的数字之和是9 ＋7 ＋5 ＋3 ＋1=25，偶数位上的数字
之和是8 ＋6 ＋4 ＋2 ＝20. 因为25—20＝5 ，又因为115 ，所以11123456789.

    再例如：判断13574 是否是11的倍数？

    解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4 ＋5 ＋1 ）

    - （7 ＋3 ）＝0.因为0 是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574 是11的
倍数。

    ⑦能被7 （11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的
数字所组成的数之差（以大减小）能被7 （11或13）整除。

    例如：判断1059282 是否是7 的倍数？

    解：把1059282 分为1059和282 两个数。因为1059-282＝777 ，又7 ｜777 ，
所以7 ｜1059282.因此1059282 是7 的倍数。

    再例如：判断3546725 能否被13整除？

    解：把3546725 分为3546和725 两个数。因为3546-725=2821.再把2821分为
2 和821 两个数，因为821 —2 ＝819 ，又13｜819 ，所以13｜2821，进而13｜
3546725.