回文数

    这种数类似25 452，从前往后读与从后往前读皆相同，所以称为回文数（palindromic
numbers ）。

    不要将一位数包括在内，最小的回文质数与最小的回文平方数是多少？其他
还有多少小于1000的回文平方数？

    在100 与200 之间有5 个回文质数，它们是多少？在400 与700 之间为何没
有回文质数？试证明在1 000 与2 000 之间的所有回文数有公因数。

    过剩数、完全数与亏损数

    考虑8 这个数。其因数除8 外，还有1 、2 、4 ，其和为7 ，小于8.因此之
故，希腊数学家将8 归类为过剩数（excessive number）。再如18这个数，其因
数为1 、2 、3 、6 、9 ，和为21，所以是一种亏损数（defective number）。

    有些数具有非常特殊的性质，能等于其因数之和。例如6 ，其因数为1 、 2、
3.希腊人将这些数称为完全数（perfect num-ber ）。

    （1 ）将小于30的数以这3 种性质分类。

    （2 ）完全数相当少，且间隔很远。欧几里德证明当2n-1为质数时，任何形
式为

    2n-1（2n-1）

    的数皆为完全数。

    试找出使2n-1为质数的n 值，以找到更多的完全数。

    互满数

    有一些成对的数具有相当奇妙的关联性，也就是其中一个数的因数和会等于
另一个数。因这种两数之间存在“互利共生”的现象，数学家将它们命名为互满
数（amicable pairs）。

    最小的一对互满数为220 与284.

    220 ：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

    284 ：1+2+4+71+142=220

    欧拉在研究过这种数之后，在1750年给出了60对互满数。但令人惊讶的是，
他漏掉了第二小的一对，即1 184 与1 210.直到1866年，才由一位16岁少年帕格
尼尼（Paganini）发现了它们。试找出1 184 与1 210 的因数，并检验其密切的
关联性。