1.三边均为整数，且最长边为11的三角形有多少个？

    参考答案：

    11，11，11；11，11，10；11，11，9 ；……11，11，1 ；

    11，10，10；11，10，9 ；……11，10，2 ；

    11，9 ，9 ；……11，9 ，3 ；

    11，8 ，8 ；……11，8 ，4 ；

    11，7 ，7 ，……11，7 ，5 ；

    11，6 ，6 ；

    1+3+5+7+9+11=6^2=36

    如果将11改为n 的话，

    n=2k-1时，为k^2 个三角形；

    n=2k时，为（k+1 ）k 个三角形。

    2.已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数
一定含有无穷多个完全平方数。

    参考答案

    证明：首先由级数各项为正可知公差d>=0，d=0 ，则a1=a2=a3= ……=an=…

    …所以只要有一项为完全平方数，所有项均为完全平方数，由于级数的项数
为无限，所以命题得证。

    d>0 ，时d 一定为正整数。不妨设第i 项为完全平方数ai=k^2（i=1 ，2 ，
3 ，……），则ai+ （2k+d）d=k^2+2kd+d^2=（k+d ）^2，也为完全平方数，所
以第i+（2k+d）d 项为完全平方数，一般的有i+（2nk+n^2d）（n=1 ，2 ，3 ，
……）项均为完全平方数（数学归纳法的证明略），由于n 可取无穷项，所以命
题得证。

    综上命题成立。

    3.求所有的素数p ，使4p^2＋1 和6p^2＋1 也是素数。

    参考答案

    考虑p 对5 的余数，余数为1 时

    余数为1 时：4p^2+1≡4*1+1 ≡0 （mod5），由于4p^2+1>=4*2^2+1=17，而
又可以被5 整除，所以一定不是素数；

    余数为2 时：6p^2+1≡6*4+1 ≡0 （mod5），由于6p^2+1>=6*2^2+1=25，而
又可以被5 整除，所以一定不是素数；

    余数为3 时：6p^2+1≡6*9+1 ≡0 （mod5），由于6p^2+1>=6*2^2+1=25，而
又可以被5 整除，所以一定不是素数；

    余数为4 时：4p^2+1≡4*16+1≡0 （mod5），由于4p^2+1>=4*2^2+1=17，而
又可以被5 整除，所以一定不是素数；

    所以由上可知5|p ，然而p 是质数，所以p 只能是5.

    4.证明存在无限多个自然数a 有下列性质：对任何自然数n ，z ＝n^4 ＋a
都不是素数。

    参考答案

    证明：利用费马小定理的另一种形式p|n^（p-1 ）-1，（p 为质数，n 为任
意自然数），所以p-1=4 ，p=5 ，5|n^4-1 ，所以5|n^4-1+5 ，5|n^4+4 ，5|n^4+9，
5|n^4+14……由于n^4+9>5 ，所以a=9 ，14，19，24，……5k+4（k=1 ，2 ，3 ，
……）均可使z ＝n^4 ＋a 都不是素数，所以命题得证。

    5.证明：如果p 和p ＋2 都是大于3 的素数，那么6 是p ＋1 的因数