排队报数

    上体育课时，同学们站好队，1 、2 报数，然后让报1 的学生退出队列；再
1 、2 报数，让报1 的学生退出队列；从第三次开始，每次报数后，一律让报2
的学生退出队列，直到最后一个人为止，问最后剩下的一个人最初排在队列的第
几位？

    解答：我们根据队列中最初的位置，按报数的顺序依次给每个学生编上序号
1 、2 、3 ……，再让这列学生重复1 、2 报数。

    ①如果每次全队报完数之后，都是报1 的学生出列，则：

    第一次留下的学生是：2 、4 、6 ……，都是2 的倍数；

    第二次留下的学生是：4 、8 、12……，都是4 （22）的倍数；

    第三次留下的学生是：8 、16、24……，都是8 （23）的倍数；

    ……

    ②如果每次全队报完数之后，都是报2 的学生出列，则：

    第一次留下的学生是：1 、3 、5 ……，都等于2 的倍数加1 ；

    第二次留下的学生是：1 、5 、9 ……，都等于4 （22）的倍数加1 ；

    第三次留下的学生是：1 、9 、17……，都等于8 （23）的倍数加1 ；

    ……

    根据上面的分析可知，在这个游戏中有两条规律：一、按第①种规则游戏，
n 次后留下的学生中第一个的序号就是2n，最后留下的就是这列序号所含的2 的
最高次幂；二、按第②种规则游戏，则每次留下的学生中，第一个学生都是1 号，
直到最后留下的还是1 号。