欧拉发现在多面体的顶点、边与面的数目间存在着一种简单的关系，这种关
系被视为图论（graph theory）中相当重要的定理。

    你现在应该可以自己叙述欧拉关系了。看看此关系是否也能适用于其他的多
面体，检验一下你的推论。

    当时欧拉认为这只是多面体的性质，但后来数学家发现这种关系也能适用于
球面或平面上的网络。

    考虑如图1 的网络。其中有3 个结点A 、B 、C ，4 条弧p 、q 、r 、s ；
这个网络把平面分成3 个区域1 、2 、3.这些数目满足下列关系：

    N-A+R=2

    N 为结点的数目，A 为弧的数目，R 为区域的数目。你觉得这与多面体的关
系是否有什么类似之处？

    现在把上述的关系式用在其他的网络上，试试结果如何。

    你是否试过图2 中不相连的网络？

    你应该会发现，上述的关系式需要视网络中分离部分的数目作修正。看看你
是否能找到一个公式，不管网络中到底有多少部分，都能成立。

    “欧拉关系”与“网络关系”之间的联系可以用图3 说明。

    想象一下，用具有弹性的材料做一个立方体，可以如图3 的方式伸展，然后
压平，成为平面上的网络。原来立方体的每一个顶点现在都成为网络中的结点，
原来立方体的每一条边现在则成为网络中的一条弧。

    立方体的每一面现在都成为平面中的一个区域，只除了ABCD之外，不过也可
以把ABCD看成是代表网络外部的区域。所有多面体以这种方式变换都可得到类似
的结果，但要注意的是，对有洞的多面体需要做进一步的考察。

    如果将多面体看作是三维空间分隔成不同区域，则对欧拉的关系式还可以作
进一步推广。

    考虑一下最简单的多面体——四面体（图4 ）。

    四面体将空间分成两个区域，且

    V-E+F-R=4-6+4-2=0

    其中V 、E 、F 各代表多面体的顶点、边与面的数目，R 为区域的数目。现
在在立方体上加一个金字塔形的角锥体。这种组合将空间分成3 个区域，包括9
个顶点、16条边与10个面（图5 ）。

    我们再度得出

    V-E+F-R=0

    这是由欧拉原始的关系式推广得出的另一个关系式。用其他的方法分割空间，
检验一下这个关系式。