解决牛吃草问题的多种算法

    历史起源：英国数学家牛顿（1642—1727）说过：“在学习科学的时候，题
目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在
一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称
之为牛顿的牛吃草问题。

    主要类型：

    1 、求时间

    2 、求头数

    除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问
题”的解题思想解决实际问题的能力。

    基本思路：

    ①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我
们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。

    ②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。

    ③根据（“原有草量”+ 若干天里新生草量）÷天数“，求出只数。

    基本公式：

    解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶

    （1 ）草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的
较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

    （2 ）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

    （3 ）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

    （4 ）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度

    第一种：一般解法

    “有一牧场，已知养牛27头，6 天把草吃尽；养牛23头，9 天把草吃尽。如
果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”

    一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1 ，那么就有：

    （1 ）27头牛6 天所吃的牧草为：27×6 ＝162 （这162 包括牧场原有的草
和6 天新长的草。）

    （2 ）23头牛9 天所吃的牧草为：23×9 ＝207 （这207 包括牧场原有的草
和9 天新长的草。）

    （3 ）1 天新长的草为：（207 －162 ）÷（9 －6 ）＝15

    （4 ）牧场上原有的草为：27×6 －15×6 ＝72

    （5 ）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6 头吃原牧场的
草：72÷（21－15）＝72÷6 ＝12（天）

    所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

    第二种：公式解法

    有一片牧场，草每天都匀速生长（草每天增长量相等），如果放牧24头牛，
则6 天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8 天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相
等的。（1 ）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2 ）要使牧草永远吃不完，
最多可放多少头牛？

    解答：

    1 ）草的生长速度：（21×8-24×6 ）÷（8-6 ）=12 （份）

    原有草量：21×8-12×8=72（份）

    16头牛可吃：72÷（16-12 ）=18 （天）

    2 ）要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数

    所以最多只能放12头牛。