1 计算： 1+2+22+23+…+29+210

分析 这是首项系数是2的等比数列求和问题，可采用“错位相减法”求解．

解：设S=1+2+22+23+…+29+210 （1）

　　用2乘以上式的两边可得

　　2S=2+22+23+…=210+211 （2）

　　用（2）式减去（1）式的两边，得

　　S=（2+22+2 3+…+2 10+2 11）-（1+2+2 2+2 3+…+2 9+2 10）

　　 =2 11-1

　　 =2048-1

　　 =2047．

例2 计算：1×0.5+3×（0.5）2+5×（0.5）3+7×（0.5）4+…+17×（0.5）9+19×（0.5）10

分析 这个和式中的每一项都是两个数的乘积，把各乘积的前一个数依次排在一起构成一个公差为2的等差数列，把各乘积的后一个数依次排在一起构成一个公比是0.5的等比数列，这种数列通常称为混合数列，它的求和方法也采用“错位相减法”．

解：设S=1×0.5+3×(0.5)2+5×(0.5)3+…+17×(0.5)9+19×(0.5)10 （1）

　　用2乘以上式的两边可得

　　2S＝1+3×0.5+5×（0.5）2+7×（0.5）3+…+17×（0.5）8+19×（0.5）9 （2）

　　用（2）式减去（1）式的两边，得

　　S=1+2×0.5+2×(0.5)2+2×(0.5)3＋…+2×(0.5)8+2×(0.5)9-19×(0.5)10

　　 =1+1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8-19×（0.5）10

　　再设 A=1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8 （3） 
　　用2乘以（3）式的两边可得：

　　2A=2+1+0.5+…+（0.5）7 （4）

　　用（4）式减去（3）式两边，得

　　A=2-（0.5）8=2-0.00390625=1.99609375

　　于是，有：

　　S=1+1.99609375-19×（0.5）10

　　 =2.99609375-19×0.0009765625

　　 =2.99609375-0.0185546875

　　 =2.9775390625．

例3 计算：11×12×13+12×13×14+13×14×15+…+100×101×102

解：利用裂项法，有

　　11×12×13=（11×12×13×14-10×11×12×13）÷4，

　　12×13×14=（12×13×14×15-11×12×13×14）÷4，

　　13×14×15=（13×14×15×16-12×13×14×15）÷4，

　　…

　　100×101×102

　　=（100×101×102×103-99×100×101×102）÷4，

　　把这90个等式相加，得

　　原式=（100×101×102×103-10×11×12×13）÷4

　　=25×101×102×103-10×11×3×13

　　=26527650-4290