数学提高之从数列递推到N球配对问题

下面介绍求简单递推数列通项公式的通用解法，并由此思路解一个老题

以下记A（N）为数列第N项

1、已知A1=1，A（N）=2A（N-1）+1，求数列通项公式
解：由题意，A（N）+1=2[A（N-1）+1]
即 A（N）+1是以2为首项，2为公比的等比数列
因此 A(N)+1=2^N
数列通项公式为 A(N)=2^N-1

2、通用算法
已知A1=M，A（N）=P*A（N-1）+Q，P《》1，求数列通项公式
解：设 A（N）+X=P*[A（N-1）+X]
解得 X=Q/（P-1）
因此 A（N）+Q/（P-1）是以A1+Q/（P-1）为首项，P为公比的等比数列
由此可算出A（N）通项公式

3、已知A1和A2， A（N）=P*A（N-1）+Q*A（N-2），求数列通项公式
解题思路：设 A（N）+X*A（N-1）=Y*[A（N-1）+X*A（N-2）]
代入原式可得出两组解，对两组X，Y分别求出
A（N）+X*A（N-1）的通项公式
再解二元一次方程得出A（N）
注：可能只有一组解，但另有解决办法。

4、现在用上面的思路来解决一个著名的问题：
N个球和N个盒子分别编号从1到N，N个球各放入一个盒子，求没有球与盒子编号相同的放法总数。

解：设A（N）为球数为N时满足条件的放法（以下称无配对放法）总数，
易知A1=0，A2=1
当N》2时，一号球共有N-1种放法，假设1号球放入X号盒子
在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球正好放入1号盒子，
问题等价于有N-2个球的无配对放法，放法总数为：A（N-2）
在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球没有放入1号盒子，
则可以把X号球看作1号球，问题等价于有N-1个球的无配对放法，
放法总数为：A（N-1）

因此有 A（N）=（N-1）*[A（N-1）+A（N-2）]
上式可变换为： A（N）-NA（N-1）
=-[A（N-1）-（N-1）*A（N-2）]
按等比数列得出： A（N）-NA（N-1）=（-1）^N
上式除以N！得出：
A（N） A（N-1） （-1）^N
------- = ---------------- + -----------------
N！ （N-1）！ N！

把 A（N）/N！当作新的数列， 把（-1）^N/N！也作为一个数列
则 A（N）等于数列 （-1）^N/N！从第二项到第N项的和再乘以N

另外可得出：
N球恰有K球与盒子配对的放法总数为： C（N，K）*A（N-K）