考研数学重点难点归纳辅导 微分几何

    第二部分

    （1） 课程名称：微分几何

    （2） 基本内容：三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有：

    曲线论，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率；Frenet标架与Frenet公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。

    曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。

    基本要求：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

    二、讲授纲要

    第一章 三维欧氏空间的曲线论

    §1 曲线 曲线的切向量 弧长

    教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线。

    §2 主法向量与从法向量 曲率与扰率

    教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概

    念，会计算曲率与挠率。

    §3 Frenet标架 Frenet公式

    教学要求：掌握Frenet公式，能运用Frenet公式去解决实际问题。

    §4 曲线在一点邻近的性质

    教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。

    §5 曲线论基本定理

    教学要求：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简单的曲线。

    §6 平面曲线的一些整体性质

    6.1 关于闭曲线的一些概念

    6.2 切线的旋转指标定理

    6.3 凸曲线*

    6.4 等周不等式*

    6.5 四顶点定理*

    6.6 Cauchy-Crofton公式*

    教学要求：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲 率、旋转指标、凸曲线。掌握平面曲线的一些整体性质：简单闭曲线切

    线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与

    Cauchy-Crofton公式。

    §7 空间曲线的整体性质

    7.1 球面的Crofton公式*

    7.2 Fenchel定理*

    7.3 Fary-Milnor定理*

    教学要求：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的Crofton公

    式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。

    第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何

    §1 曲面的表示 切向量 法向量

    1.1 曲面的定义

    1.2 切向量 切平面

    1.3 法向量

    1.4 曲面的参数表示

    1.5 例

    1.6 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面

    教学要求：掌握曲面的三种局部解析表示；会求曲面的切平面与法线；了解旋转曲面与直纹面的表示；掌握可展曲面的特征。

    §2 曲面的第一、第二基本形式

    2.1 曲面的第一基本形式

    2.2 曲面的正交参数曲线网

    2.3 等距对应 曲面的内蕴几何

    2.4 共形对应

    2.5 曲面的第二基本形式

    教学要求：掌握曲面的第一基本形式及相关量——曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角与面积的计算，并理解其几何意义；了解等距对应与共形对应；掌握第二基本形式。

    §3 曲面上的活动标架 曲面的基本公式

    3.1 省略和式记号的约定

    3.2 曲面上的活动标架 曲面的基本公式

    3.3 Weingarten变换W

    3.4 曲面的共轭方向 渐近方向 渐近线

    教学要求：掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交参数曲线网的联络系数；理解Weingarten变换与共轭方向、渐近方向，会求一些简单曲线的渐近曲线。

    §4 曲面上的曲率

    4.1 曲面上曲线的法曲率

    4.2 主方向 主曲率

    4.3 Dupin标线

    4.4 曲率线

    4.5 主曲率及曲率线的计算 总曲率 平均曲率

    4.6 曲率线网

    4.7 曲面在一点的邻近处的形状

    4.8 Gauss映照及第三基本形式

    4.9 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面

    教学要求：理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义，并会对它们进行计算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能对全脐曲面与总曲率为零的曲面进行分类；掌握极小曲面的几何意义并会求一些简单的极小曲面。

    §5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理

    5.1 曲面的基本方程

    5.2 曲面论的基本定理

    教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。

    §6 测地曲率 测地线

    6.1 测地曲率向量 测地曲率

    6.2 计算测地曲率的Liouville公式

    6.3 测地线

    6.4 法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系

    6.5 应用

    6.6 测地扰率

    6.7 Gauss-Bonnet公式

    教学要求：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用Liouville公式计算测地曲率与测地线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理解（局部）Gauss-Bonnet公式。

    §7 曲面上的向量的平行移动

    7.1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动 绝对微分

    7.2 绝对微分的性质

    7.3 自平行曲线

    7.4 向量绕闭曲线一周的平行移动 总曲率的又一种表示

    7.5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系

    教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。