福建师范大学《高等代数》2011年考研大纲

《高等代数》考试内容范围

　　第一章多项式
　　多项式理论自成一体，内容丰富。首先要把握多项式代数与多项式函数两个不同的角度和联系。多项式的代数运算（包括带余除法）及其引导出的概念性质是多项式代数的内容，而多项式的根及重根是多项式函数的内容。两个多项式相等的充分必要条件是它们作为函数相等的。其次要掌握多项式理论中与数域扩充无关的整除，带余除法，比较大公因式，互质等；而不可约多项式，因式分解等与数域扩充有关。
　　主要内容有：
　　一多项式代数与多项式函数
　　二比较大公因式和互质及应用（与数域扩充无关的性质）
　　三因式分解及应用（与数域扩充有关的性质）
　　第二章行列式
　　行列式理论，应重点掌握行列式的性质并用以计算行列式，熟练掌握一些基本的计算方法。
　　主要内容有：
　　一行列式的定义与性质
　　二行列式的计算及应用
　　第三章矩阵初步
　　掌握矩阵的运算（包括转置，方阵的迹）。矩阵的初等变换是矩阵论的核心和精髓，必须很好地领会理解并应用。方块矩阵的初等变换是矩阵的初等变换的延伸，是解决矩阵问题的很好工具。了解Benit-Cauchy公式，它在证明和计算一些行列式的子式，不等式时特别有用。
　　主要内容有：
　　一矩阵代数
　　二矩阵的初等变换及应用
　　三方块矩阵的初等变换及应用
　　第四章线性空间
　　线性空间是高等代数的主要研究对象。它体现了代数学中研究其它代数结构的基本思路。元素之间的研究---线性关系，包括线性表出，线性相关和线性无关，空间的基和坐标，基之间的过渡矩阵。子结构的研究---子空间和子空间的直和。这是从内部来研究代数结构。下一章将从外部结构来研究代数结构，这就是线性映射和线性变换。要掌握子空间的和与交的维数公式在讨论子空间分解中的作用。
　　主要内容有：
　　一线性空间的定义
　　二向量的线性关系
　　三子空间与空间直和分解及应用

　　第五章线性变换
　　把握用线性映射（变换）的观点来研究线性空间这条主线。掌握空间线性映射（变换）与线性相关性和子空间的关系，特别是由线性映射（变换）导出的两个比较重要的子空间---象空间和核空间。掌握由空间的基的象决定线性映射（变换）的办法。掌握用同构的观点讨论线性映射（变换）与矩阵的本质联系。掌握关于Im（f）和Ker（f）的维数公式在子空间分解中的应用。
　　主要内容有：
　　一线性映射
　　二线性变换
　　三同构对应及应用
　　第六章线性方程组
　　从线性表出和矩阵的秩的观点来讨论线性方程解的存在和解的个数，用子空间的观点来讨论线性解的结构。关注线性方程组的反问题和矩阵方程问题。
　　主要内容有：
　　一齐次线性方程组结构及应用
　　二非齐次线性方程组结构及应用
　　三线性方程组的反问题和矩阵方程
　　第七章矩阵的秩
　　掌握从行列式，相抵标准形，向量，线性空间，线性方程组，线性变换，矩阵分解等各个角度来理解矩阵的秩。学会从各个角度来证明矩阵秩的命题以及矩阵的秩命题在各个方面的应用。
　　主要内容有：
　　一矩阵的秩的等价刻划
　　二关于矩阵秩的基础命题及应用
　　三关于矩阵秩的进一步命题及应用
　　第八章线性空间同构
　　同构是代数学的基本思想方法。利用同构的思想方法掌握矩阵命题和线性变换命题的互相转化。
　　主要内容有：
　　一线性空间的同构
　　二三种重要的同构
　　三命题的互相转化及应用

　第九章特征值与特征向量
　　掌握相关概念，命题，定理中线性变换和矩阵的对应。
　　主要内容有：
　　一矩阵的特征值与特征向量特征多项式比较小多项式的求法及应用
　　二线性变换的特征值与特征向量特征多项式比较小多项式的求法及应用
　　三可对角化矩阵（线性变换）的判定、性质及应用
　　第十章空间分解定理和Jordan标准形
　　掌握空间分解为特殊的f-不变子空间：根子空间，循环子空间的直和与Jordan标准形的对应，掌握矩阵的特征多项式，比较小多项式，初等因子与Jordan标准形的关系。掌握用Jordan标准形考虑和解决问题的方法。
　　主要内容有：
　　一空间分解定理
　　二Jordan标准形
　　三Jordan标准形的求法
　　四Jordan标准形应用
　　第十一章欧氏空间
　　欧氏空间有内积，因而具有度量性质：向量的长度，夹角，正交。进一步有标准正交基，Schmidt正交化，正交矩阵和正交补空间。掌握欧氏空间的度量性质，掌握正交变换，对称变换及与实数域上正交矩阵，对称矩阵的对应关系。
　　主要内容有：
　　一欧氏空间的正交向量
　　二欧氏空间的子空间的正交补
　　三n维欧氏空间的线性变换
　　第十二章二次形
　　掌握二次形化成标准形和矩阵合同关系的对应结论。正定二次形是重要的、典型的一类二次形。对于实对称矩阵，不但要掌握在合同关系下的标准形，还要掌握正交相似关系的标准形。
　　主要内容有：
　　一二次形的标准形
　　二二次形正定性的判定及应用
　　第十三章等价关系与矩阵标准形
　　掌握等价分类取代表元的思想方法，并用于讨论矩阵在各种等价分类的标准形。同时要注意在同构意义下矩阵命题和线性变换命题的对应。
　　主要内容有：
　　一等价关系与分类
　　二矩阵中常见的几种等价关系及应用