福建师范大学《数学分析与实变初步》2011年考研大纲

　　《数学分析与实变初步》命题范围和题型
　　一、命题原则(含范围)：命题主要依据《数学分析》（上、下册，复旦大学陈纪修，於崇华，金路等编）、《数学分析中的典型问题与方法》（裴礼文编）和《实变函数与泛函分析概要》（第一册，南京大学郑维行、王声望编，第三版），重点考查考生的基本能力、实际应用能力和创造力，其中《数学分析》120分，《实变函数》30分，具体内容如下：
　　（一）函数、极限与连续
　　数列和函数极限的计算以及有关问题的讨论；无穷小量阶的比较；实数完备性理论及其应用；函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、比较大值和比较小值定理、介值定理、根的存在定理），并会应用这些性质。
　　（二）导数及其应用
　　函数可导性的研究，微分中值定理及其应用，利用导数研究函数的性质（单调性，凹凸性等）以及导数的应用（极值、比较大值和比较小值等）。
　　（三）积分及其应用
　　不定积分和定积分的计算，定积分的性质，定积分中值定理以及变上、下限的积分，定积分的应用；无穷限广义积分的概念、性质及其收敛的判别法；含参量正常积分的概念及其性质，含参量正常积分定义的函数的连续性、可微性和可积性。
　　（四）级数
　　数项级数的收敛性判别方法（包括正项级数、一般级数等），数项级数收敛的性质;一致收敛的函数项级数表示的函数的连续性、可积性和可微性，并用这些性质去解决有关问题;幂级数的求和、函数的Taylor级数展开等。
　　（五）多元函数的微积分
　　二元函数的重极限和累次极限；二元函数的连续性概念及有界闭域上二元连续函数的性质;多元函数的偏导数、全微分及其性质和应用;二重积分、三重积分、第一、二类曲线与曲面积分的计算，三个重要公式：Green公式、Gauss公式和Stokes公式以及曲线积分与路径无关性的应用和计算等。
　　（六）点集、Lebesgue测度与可测函数
　　两集合的对等，集合的基数，集合的可列性；开集、闭集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性质；点集的内部、导集、闭包、边界；Cantor三分集的结构和性质；外测度、内测度、测度和可测集的概念及其性质，集合可测性的判别方法；零测度集的概念及其性质；可测函数的概念及其性质；函数可测性的判别方法；可测函数列几种收敛性之间的关系（包括处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛、测度收敛）；叶果洛夫定理、里斯定理、鲁津定理的含义及应用；
　　（七）Lebesgue积分
　　Lebesgue积分的定义及其性质，并会判断一个函数是否Lebesgue可积；三大积分收敛定理（勒维定理，法杜定理和Lebesgue控制收敛定理）及其应用；Riemann积分与Lebesgue积分之间的区别和联系；单调增函数的连续性、可积性和可微性；有界变差函数的概念及其性质，并会利用全变差的可加性和单调函数全变差公式来求一个函数的全变差；绝对连续函数的概念及其性质，并会利用牛顿--莱布尼兹公式判断一个函数是否绝对连续。
　　二、题型及各题型分数比例：选择题(5小题，每小题4分，共20分)、填空题（8小题，每小题4分，共32分）、计算题（3题，共45分）、证明题（5题，共53分）等，满分150分.