试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；秩（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1 . 设 A 为三阶方阵且  则  （ ） A. -108 B. -12 C. 12 D. 108 2 . 如果方程组  有非零解,则 k = （ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 3 . 设 A、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ） A. AB=BA B. C. D. 4 . 设 A 为四阶矩阵，且  则  （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 5 . 设  可由向量 α 1 =（1，0，0） α 2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中  只能是 A. （2，1，1） B. （-3，0，2） C. （1，1，0） D. （0 ,-1,0 ） 6 . 向量组 α 1 ， α 2 ， …， α s 的秩不为 s(s  ) 的充分必要条件是（ ） A. α 1 ， α 2 ，…， α s 全是非零向量 B. α 1 ， α 2 ， …， α s 全是零向量 C. α 1 ， α 2 ， …， α s 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 D. α 1 ， α 2 ， …， α s 中至少有一个零向量 7 . 设 A 为 m  矩阵，方程 AX=0 仅有零解的充分必要条件是（ ） A. A 的行向量组线性无关 B. A 的行向量组线性相关 C. A 的列向量组线性无关 D. A 的列向量组线性相关 8 . 设 A 与 B 是两个相似 n 阶矩阵，则下列说法 错误 的是（ ） A.  B. 秩（ A ） = 秩（ B ）  C. 存在可逆阵 P ，使 P -1 AP=B D.  E-A =  E-B 9 . 与矩阵 A =  相似的是（ ） A.  B.  C.  D.  10 . 设有二次型  则  （ ） A. 正定 B. 负定 C. 不定 D. 半正定 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共 20 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.若 则 k= ___________ . 12.设 A= ,B= 则 AB= ___________ . 13.设 A = ,则 A - 1 = ___________ . 14.设 A 为3 矩阵,且方程组 A x = 0 的基础解系含有两个解向量,则秩( A )= ___________ .
15.已知 A 有一个特征值 -2, 则 B=A +2 E 必有一个特征值 ___________ . 16.方程组 的通解是 ___________ . 17.向量组 α 1 =(1,0,0) α 2 =(1,1,0), α 3 =(-5,2,0)的秩是 ___________ .
18.矩阵 A = 的全部特征向量是 ___________ . 19.设三阶方阵 A 的特征值分别为 -2,1,1, 且 B 与 A 相似,则 = ___________ .
20.矩阵 A = 所对应的二次型是 ___________ . 三、计算题（本大题共 6 小题，每小题9分，共54分） 21.计算四阶行列式 的值. 22. 设 A= , 求 A . 23.设 A= ,B= , 且 A,B,X 满足( E-B A ) 求 X,X 24. 求向量组 α 1 =(1,-1,2,4) α 2 =(0,3,1,2), α 3 =(3,0,7,14), α 4 =(2,1,5,6), α 5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组. 25.求非齐次方程组 的通解. 26. 设 A= , 求 P 使 为对角矩阵.
四、证明题（本大题共 1 小题,6分） 27.设 α 1 ， α 2 ， α 3 是齐次方程组 A x =0 的基础解系. 证明 α 1 ， α 1 +α 2 ， α 1 +α 2 +α 3 也是 A x =0 的基础解系．
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