随机数学总复习
 
第一部分：概率论基础
 
1． 基本概念和重要公式
 
l         随机事件、随机事件的概率、条件概率、事件的独立性、随机变量、随机变量的分布函数和分布密度、随机变量函数的分布（重点掌握）、随机变量的数字特征（期望和方差）及其性质。
l         重要公式：
（加法公式）：

（乘法公式）：

（全概率公式）：
（贝叶斯（Bayes）公式）：
l         大数定理和中心极限定理
 
2． 典型例题
 
（1）十台洗衣机中有三台为次品，已售出一台，余下九台中任意两台。设事件A＝“所取两件均为正品”，事件B＝“售出一台为正品”。求P(A)和P(B∣A)。
（2）设随机向量 的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布 。
(a)  分别写出随机变量 和 的分布密度
(b)  试问： 与 是否独立？说明理由。
（3）已知随机变量 的概率密度函数为：

且期望 。试求（a）确定常数A和B；（b）方差 。
    （4）设 是取自正态总体 的简单随机样本。记 ，求统计量 的分布。
    （5）设 和 为独立的随机变量，期望和方差分别为 和 。
（a）      试求 和 的相关系数；
（b）     与 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
 
 
第二部分：应用随机过程
 
1.    基本概念和基本定理
 
l         随机过程的一般概念
 
（1）      了解随机过程和有限维分布函数族的概念，掌握随机过程的 维分布函数、分布密度的概念。
（2）      理解随机过程的均值函数、协方差函数和相关函数的概念，掌握它们的主要性质，并会对给定的简单过程和常用的重要过程计算这些数字特征。
（3）      了解随机过程的分类。
 
l         马氏过程
 
（1）      理解马氏链及其转移概率的定义和性质。理解齐次性的概念。了解独立增量过程与马氏过程的关系。
（2）      掌握C-K方程，并能利用C-K方程计算转移概率。
（3）      了解状态的常返性、遍历性的概念。掌握遍历性的主要定理的条件和结论。能对简单齐次马氏链的状态进行分类。
（4）      掌握马氏链的极限性质，掌握平稳分布的概念，能对简单的齐次马氏链找平稳分布。
 
l         Poission过程
 
（1）      掌握独立增量过程的定义。
（2）      掌握Poission过程的定义及一维分布，会求此过程的数字特征。
 
l         二阶矩过程、平稳过程和随机分析
 
（1）      掌握二阶矩过程、严平稳过程及宽平稳过程的定义及关系。
（2）      了解均方极限、均方连续、均方导数和均方积分的概念，会判断一个随机过程的均方连续性及均方可导性。掌握均方导数过程的相关函数于原过程的相关函数之间的关系。
（3）      掌握平稳过程各态历经性的概念。了解判断均值、相关函数具有各态历经性的定理。
 
l         平稳过程的谱分析
 
（1）      掌握平稳过程功率谱的定义及性质，会对简单的随机过程求其功率谱。
（2）      掌握功率谱与相关函数之间的关系。
（3）      掌握随机信号通过线性系统后输入信号与输出信号的功率谱之间的关系。
 
l         正态过程
 
（1）      掌握 维正态随机变量的分布密度、特征函数及基本性质。
（2）      掌握正态过程的定义。
（3）     掌握维纳过程的定义，会求标准维纳过程的数字特征。会求偏移系数为 ，强度为 的维纳过程的相关函数。
 
2.    典型例题
（1）设 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 ，且是一个周期为 的函数，即 ，求方差函数 。
（2）  试证明：如果 是一独立增量过程，且 ，那么它必是一个马尔可夫过程。
（3）     设随机过程 为零初值（ ）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个 ， ，问过程 是否为正态过程，为什么？
（4）     设 为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。
（5）     设 ， 是零初值、强度 的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下， 是否存在，为什么？
（6）     在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：

       试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。
（7）     设齐次马氏链 一步转移概率矩阵如下：

（a）      写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）；
（b）     求 步转移概率矩阵；
（c）     试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？
（8）     设 ，其中 为强度为 的Poission过程，随机变量 与此Poission过程独立，且有如下分布：

      问：随机过程 是否为平稳过程？请说明理由。
（9）     设 ，其中 与 独立，都服从
（a）     此过程是否是正态过程？说明理由。
（b）     求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。
（10） 设 ， 是零初值、强度 的泊松过程。
（a）     求它的概率转移函数 ；
（b）     令 ，说明 存在，并求它的二阶矩。
（11） 设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以 表示第 次取出球后的累计积分，
（a） ， 是否齐次马氏链？说明理由。
（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率 和两步转移概率 。
（c）令 ，求 。
（12） 考察两个谐波随机信号 和 ，其中：

      式中 和 为正的常数； 是 内均匀分布的随机变量， 是标准正态分布的随机变量。
（a）      求 的均值、方差和相关函数；
（b）     若 与 独立，求 与 的互相关函数。
（13） 令谐波随机信号： 式中 为固定的实数； 是 内均匀分布的随机变量，考察两种情况：
（a）      幅值 为一固定的正实数；
（b）     幅值 为一与 独立，分布密度函数为 的随机变量；
       试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？
（14） 设 是一强度为 的Poission过程，记 ，试求随机过程 的均值和相关函数。
（15） 研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。
（a） ，其中 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为 ，方差为 ；
（b） ，其中 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为 ，方差为 。
（16） 求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。
（a） ，其中 是参数为1的Wienner过程。
（b） ,其中 是参数为 的Wienner过程。
（17） 讨论Wienner过程和Poission过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。
（18） 设有平稳随机过程 ，它的相关函数为 ，其中 为常数，求 （ 为常数）的自协方差函数和方差函数。
（19） 设有实平稳随机过程 ，它的均值为零，相关函数为 ， 若 ，求 的自协方差函数和方差函数。
（20） 设 和 是参数分别为 和 的时齐Poission过程，证明在 的任一到达时间间隔内， 恰有 个事件发生的概率为：

 
附录：（有时间可以阅读一下）
随机分析
1． 均方极限
 
定义：设随机序列 及随机变量 均存在二阶矩，即 ，如果

则称随机序列 均方收敛于 ，或序列 的均方极限为 ，记作

       关于均方极限，具有以下性质
（1）      如果 ，则有：
（a）
（b）
（2）      如果 ， ，则有：

其中 为任意的复数。
（3）      如果 ， 则有：

（4）      均方极限是唯一的。即，若 及 ，则有

（5）      （柯西准则）随机序列 均方收敛（于 ）的充分必要条件为

（6）      （列维Loeve准则）随机序列 均方收敛（于 ）的充分必要条件为

                其中 为复常数
（7）      如果 ， 是一确定性函数，并且满足Lipschitz条件，即

其中 是正常数。又假设 ， 的二阶矩都存在，则有：

（8）      如果 ，则对于任意有限的 ，有：

 
2． 二阶矩过程的均方连续
 
定义：设二阶矩过程 ， ，若有：

即

则称 在 点均方意义下连续。若对于 ， 均在均方意义下连续，则称过程 在均方意义下连续，或称过程具有均方连续性。
       定理：设有二阶矩过程 ， 为其自相关函数，则 在 上均方连续的充分必要条件是：自相关函数 在点 处连续。
       定理：若二阶矩过程 在均方意义下连续，则对于 ，有：

       定理：设 是宽平稳过程，则以下各条件是等价的：
       （a） 均方连续；
       （b） 在点 处均方连续；
       （c）自相关函数 在 上连续；
       （d）自相关函数 在点 处连续。
即：宽平稳过程 均方连续的充分必要条件为：自相关函数 在点 处连续。
 
3． 均方导数
 
（1）定义
定义：设有随机过程 ， ，如果

其中 ，则称随机过程 在 处均方可导，并称 为过程 在 处的均方导数，记作 。若对于 ， 均在均方意义下可导，即有：

则称 为随机过程 在均方意义下的导数。
       利用柯西准则，我们有：
       定义：设有随机过程 ， ，如果对于 ，有：

则称 在均方意义下导数存在（可以求导）。记

称此为 在 处的均方导数或均方微商。
 
       （2）均方可导的判定准则
       定理：设二阶矩过程 ，它的自相关函数为 ，则 在点 处具有均方导数的充分必要条件为：

在点 附近存在且在点 处连续。
      
       （3）均方导数的性质
       （a）设 为两个均方可导的随机过程， 为复常数，则 也均方可导，并且有：

       （b）设 为均方可导的随机过程， 为一确定性函数，则 也是均方可导的随机过程，且有：

       （c）设 为均方可导的随机过程，则 的均值函数为：

 
       （4）平稳随机过程的均方导数
       若 为平稳随机过程，则有

若 存在， ，而且在 处 连续，则 均方可导，且

       这是因为：

当 时， ，此时

       因为平稳过程为实的随机过程时，有 。若随机过程 存在均方导数，则要求 在 处连续， 在 连续，因此 。
       对于平稳随机过程，因为均值函数为常数，因此：

 
       （5）高阶导数
       若二阶矩过程 的自相关函数有 阶导数，且在对角线 上连续，则 有均方意义下的 阶导数 存在。且有：



       如果 为平稳随机过程，则有：

       如果 为两个二阶矩过程，则它们的互相关函数定义为：

我们有：


 
       （5）泰勒级数展开