清华大学2001年“数据结构”试题
 
 试题内容:

一、试给出下列有关并查集(mfsets)的操作序列的运算结果：

union(1,2) , union(3,4) , union(3,5) , union(1,7) , union(3,6) , union(8,9) , union(1,8) , union(3,10) , union(3,11) , union(3,12) , union(3,13) , union(14,15) , union(16,0) , union(14,16) , union(1,3) , union(1,14)。（union是合并运算，在以前的书中命名为merge）

要求

(1) 对于union(i,j)，以i作为j的双亲； （5分）

(2) 按i和j为根的树的高度实现union(i,j)，高度大者为高度小者的双亲；  （5分）

(3) 按i和j为根的树的结点个数实现union(i,j)，结点个数大者为结点个数小者的双亲；  （5分）

二、设在4地（A,B,C,D）之间架设有6座桥,如图所示:

要求从某一地出发,经过每座桥恰巧一次,最后仍回到原地

(1) 试就以上图形说明:此问题有解的条件是什么?  (5分)

(2) 设图中的顶点数为n,试用C或Pascal描述与求解此问题有关的数据结构并编写一个算法,找出满足要求的一条回路.    (10分)

三、针对以下情况确定非递归的归并排序的运行时间(数据比较次数与移动次数):

(1) 输入的n个数据全部有序;    (5分)

(2) 输入的n个数据全部逆向有序;    (5分)

(3) 随机地输入n个数据.    (5分)

四、简单回答有关AVL树的问题.

(1) 在有N个结点的AVL树中,为结点增加一个存放结点高度的数据成员,那么每一个结点需要增加多少个字位(bit)?    (5分)

(2) 若每一个结点中的高度计数器有8bit,那么这样的AVL树可以有多少层?最少有多少个关键码?    (5分)

五、设一个散列表包含hashSize=13个表项,.其下标从0到12,采用线性探查法解决冲突. 请按以下要求,将下列关键码散列到表中.
10 100 32 45 58 126 3 29 200 400 0

(1) 散列函数采用除留余数法,用%hashSize(取余运算)将各关键码映像到表中. 请指出每一个产生冲突的关键码可能产生多少次冲突.     (7分)

(2) 散列函数采用先将关键码各位数字折叠相加, 再用%hashSize将相加的结果映像到表中的办法. 请指出每一个产生冲突的关键码可能产生多少次冲突.     (8分)

六、设一棵二叉树的结点定义为struct BinTreeNode{ElemType data;BinTreeNode *leftChild, *rightChild;}现采用输入广义表表示建立二叉树. 具体规定如下:

(1) 树的根结点作为由子树构成的表的表名放在表的最前面;

(2) 每个结点的左子树和右子树用逗号隔开. 若仅有右子树没有左子树, 逗号不能省略.

(3) 在整个广义表表示输入的结尾加上一个特殊的符号(例如”#”)表示输入结果.
例如,对于如右图所示的二叉树, 其广义表表示为A(B(D,E(G,)),C(,F))
       A
     / 
   B     C
 /        
D    E     F
     /
    G

此算法的基本思路是:依次从保存广义表的字符串ls中输入每个字符. 若遇到的是字母(假定以字母作为结点的值), 则表示是结点的值, 应为它建立一个新的结点, 并把该结点作为左子女(当k=1)或有子女(当k=2)链接到其双亲结点上. 若遇到的是左括号”(“, 则表明子表的开始,将k置为1;若遇到的是右括号”)”, 则表明子表结果. 若遇到的是逗号”,”, 则表示以左子女为根的子树处理完毕,应接着处理以右子女为根的子树, 将k置为2.
在算法中使用了一个栈s, 在进入子表之前,将根结点指针进栈, 以便括号内的子女链接之用. 在子表处理结束时退栈. 相关的栈操作如下:
MakeEmpty(s) 置空栈
Push(s,p) 元素p进栈
Pop(s) 进栈
Top(s) 存取栈顶元素的函数

下面给出了建立二叉树的算法, 其中有5个语句缺失. 请阅读此算法并把缺失的语句补上.      (每空3分)
Void CreateBinTree(BinTreeNode *&BT, char ls){
Stacks; MakeEmpty(s);
BT=NULL;                              //置二叉树
BinTreeNode *p;
int k;
istream ins(ls);                      //把串ls定义为输入字符串流对象ins
Char ch;
ins>>ch;                                //从ins顺序读入一个字符
While(ch!=”#”){                    //逐个字符处理,直到遇到'#'为止
Switch(ch){
case’(‘: _______(1)_______
k=1;
break;
case’)’: pop(s);
break;
case’,‘: _______(2)_______
break;
default: p=new BinTreeNode;
_______(3)_______
p->leftChild=NULL;
p->rightChild=NULL;
if(BT==NULL)
_______(4)_______
else if (k==1) top(s)->leftChild=p;
else top(s)->rightChild=p;
}
_______(5)_______
}
}

七、下面是一个用C编写的快速排序算法. 为了避免最坏情况,取基准记录pivot采用从left,right和mid=[(left+right)/2]中取中间值, 并交换到right位置的办法. 数组a存放待排序的一组记录, 数据类型为Type, left和right是呆排序子区间的最左端点和最右端点.
Void quicksort(Type a&#;,int left,int right){
Type temp;
If(leftType pivot=median3(a,left,right);
Int I=left, j=right-1;
For( ; ; ){
While(iWhile(iif(itemp=a[i]; a[j]=a[i]; a[i]=temp;
I++; j--;
}
else break;
}
if(a[i]>pivot)
{temp=a[i]: a[i]=a[right]; a[right]=temp;}
quicksort(a,left,i-1);                         //递归排序左子区间
quicksort(a,i+1,right);                      //递归排序右子区间
}
}

(1) 用C或Pascal实现三者取中子程序 median3(a,left,right); (5分)

(2) 改写 quicksort 算法, 不用栈消去第二个递归调用 quicksort(a,i+1,right); (5分)

(3) 继续改写 quicksort 算法, 用栈消去剩下的递归调用. (5分)