2018考研数学：极限七种运算方法及适用情况

　　极限是整个高等数学学习的工具，高数中很多重要概念例如导数、定积分、二重积分等都是由极限定义出来的。在数学考察中，极限的计算占据很大一部分，所以考生必须熟练掌握。基础复习阶段这部分内容如何复习?

　　基础阶段，我们的目标是三基本：基本概念、基本定理、基本方法，因此在基础阶段学习极限应从两个方面着手，一是极限的定义，二是极限的运算。极限的定义在考试大纲中明确要求是理解，理解的意思并不是会背诵定义内容，而是能够领会定义内容背后的所蕴含的含义，正确理解所代表的任意小以及代表的距离。

　　除定义本身以外，极限的趋近状态也要注意区分，对于函数来说有六种趋近状态：各自的含义要非常清楚，而数列只有一种趋近状态，虽然没有指明，但是数列里边的隐含之意为。

　　极限的计算则需要首先掌握考研数学要考到的七种基本方法，知道七种方法适用的情况。

　　第一种是四则运算，此方法大家比较为熟悉，但比较容易出错，需要注意使用四则运算的前提是进行运算的函数极限必须都是存在的;

　　第二种是等价无穷小替换，这一方法比较受欢迎，而且很多极限计算的问题只需经过等价无穷小代换就能得出结果，不需再使用其他方法，需要注意的是等价无穷小代换前提必须首先是无穷小才可代换，另外只能在乘积因子内代换(有些是可以在加减因子中代换的，但是在没有十足把握的情况下应避免使用在加减因子中代换);

　　第三种是洛必达法则，适用于及 型未定式，在使用的过程中需要注意一下几点：

　　1、洛必达法则必须结合等价无穷小使用;

　　2、使用一次整理一次;

　　3、其他类型未定式需要转化成 及 型才可以使用洛必达法则等;

　　第四种是泰勒展式，这是解决极限问题的利器，在基础阶段不必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的内容即可，具体使用原则会在强化阶段给出;

　　第五种是夹逼定理，主要用于解决含有不等式关系的极限问题，特别应用于 个分式之和的数列极限问题，通过放缩分母来达到出现不等关系的目的;

　　第六种是定积分的定义，与夹逼定理相区别，夹逼定理解决的问题放缩分母后分子可用一个式子去表示，而定积分的定义可解决夹逼定理不能解决的问题，通过主要的三步：1、提取，2、凑出，3、极限符号及连加符号改写为，改写为，改写为计算定积分即可解决个分式之和的数列极限问题;

　　第七种方法是适用于数列极限的单调有界性定理，难点在于如何确定证明方向，一般单调有界性定理适用于由递推公式给出的数列极限问题，因此可采取数学归纳法证明有界性，做差的办法证明单调性。

　　以上，从大的框架结构上给出了极限一章极限定义和极限计算的常用方法，希望同学们对这一章有一个宏观的把握，但是具体的细节掌握还要待进一步细致的学习。在复习的过程中要多留心多总结把重要的方法记录下来，错题记录下来方便后续的自我检查。

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