军事交通学院2012年高等数学考研大纲

　　601 高等数学

　　参考书为《微积分》(第二版)(上、下)，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社出版。

　　(一)函数、极限、连续函数

　　本部分内容主要介绍函数的基本概念、研究函数变化性态的主要工具——极限理论、以及函数的连续性。采取课堂系统讲授、课后练习并有针对性地组织习题课与课堂讨论，使学员达到：

　　1. 了解集合的概念，集合的基本运算;知道“确界公理”;

　　2. 理解函数的概念，了解映射及反函数的概念;了解函数的基本特性，会证明函数的奇偶性;

　　3. 理解复合函数和初等函数的概念。会用函数关系描述一些简单的实际问题;

　　4. 理解极限(包括左、右侧极限)的概念，会用 — ， — 定义验证简单极限;

　　5. 理解和掌握极限四则运算法则;

　　6. 了解极限的性质(包括惟一性、有界性和保号性)和极限存在准则(单调有界准则和夹逼准则)，掌握用两个重要极限求极限;

　　7. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小与无穷大的关系，掌握有极限的量与无穷小量的关系，了解无穷小的阶的概念，掌握无穷小的基本运算。掌握用等价无穷小代换求极限;

　　8. 理解函数连续的概念，会判断间断点的类型;

　　9. 了解初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质，掌握应用这些性质特别是零点定理解决有关问题的方法。

　　(二)一元函数微分学

　　本部分内容主要研究一元函数微分学的相关概念、理论和方法。采取课堂系统讲授，、课后练习并有针对性地组织习题课与课堂讨论，使学员达到：

　　1. 理解导数和微分的概念，理解导数和微分的几何意义及函数的可导性与连续性的关系;

　　2. 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法，掌握基本初等函数的导数公式及反函数的求导方法;

　　3. 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性;

　　4. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数;

　　5. 掌握求分段函数、隐函数及参数式所确定的函数的导数的方法;

　　6. 会用导数概念解决一些简单的实际问题;

　　7. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解柯西(Cauchy)中值定理和泰勒(Taylor)中值定理，掌握中值定理的应用，会用泰勒公式近似表示函数;

　　8. 熟练掌握用洛必达(L’Hospital)法则求未定式极限的方法;

　　9. 理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数增减性和求极值的方法。掌握判断函数的凹凸性的方法，会求拐点和曲线的渐进线;

　　10. 会利用导数证明一些不等式;

　　11.掌握较简单应用问题的比较大(小)值的求法;

　　12. 了解弧微分、曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

　　(三)一元函数积分学及其应用

　　本部分内容主要研究一元函数积分学的相关概念、理论和方法。采取课堂系统讲授，、课后练习并有针对性地组织习题课与课堂讨论，使学员达到：

　　1. 理解不定积分的概念及其性质;

　　2. 熟记并掌握不定积分的基本公式;

　　3. 熟练掌握换元积分和分部积分积分法;

　　4. 会求简单有理函数和三角有理式的积分;

　　5. 理解定积分的概念及性质;

　　6. 理解积分上限的函数及其求导方法，熟练掌握牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式，理解微分与积分的关系;

　　7. 掌握定积分的换元法和分部积分法;

　　8. 了解反常积分的概念，会求简单的反常积分;

　　9. 理解和掌握定积分的微元法，掌握用微元法计算一些几何量(面积、体积、弧长)、物理量(功、引力、水压力)和其他一些简单实际问题的方法。

　　(四)常微分方程

　　本部分内容主要介绍微分方程的基本概念，介绍几种简单微分方程的解法。采取课堂系统讲授，课后练习并有针对性地组织习题课与课堂讨论，使学员达到：

　　1. 了解微分方程的定义、解、通解、初始条件和特解等概念;

　　2. 掌握可分离变量的方程和一阶线性方程的解法;

　　3. 会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程与欧拉方程及用变量代换求解简单的一阶方程;

　　4. 掌握降阶法求方程 和 的解的方法;

　　5. 理解高阶线性微分方程解的结构定理;

　　6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，会解高阶常系数齐次线性方程;

　　7. 会求自由项为 、 的二阶常系数非齐次线性方程的特解;

　　8. 了解数学建模初步原理, 能利用导数的几何、物理意义及微元法建立一些简单问题的微分方程。

　　(五)无穷级数

　　本部分内容介绍无穷级数的相关概念、理论和基本方法。采取课堂系统讲授，课后练习并有针对性地组织习题课与课堂讨论，使学员达到：

　　1. 理解无穷级数收敛、发散及其和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件;

　　2. 理解几何级数和p- 级数的敛散性;

　　3. 熟练掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法;

　　4. 了解交错级数的莱布尼茨定理;

　　5. 理解无穷级数的绝对收敛、条件收敛的概念;

　　6. 理解函数项级数的收敛域及和函数的概念;

　　7. 熟练掌握幂级数收敛区间的求法，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质。掌握求简单幂级数的和函数的方法;

　　8. 知道函数展开为泰勒级数的充要条件;

　　9. 掌握 、 、 、 和 的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会利用这些展开式将一些简单函数展开为幂级数;

　　10. 会用幂级数进行一些近似计算;

　　11. 了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄里克雷(Dirichlet)条件，会将定义在 和 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数和余弦级数;

　　12. 说出了解傅氏级数的复数形式。