2012考研数学：线性代数知识点框架(6)

　　一些特殊的矩阵：单位阵、对角阵、初等矩阵。尤其要注意，初等矩阵是单位阵经过一次初等变换得到的矩阵。

　　每一个初等矩阵对应一个初等变换，因为左乘的形式为PA(P为初等矩阵)，将A写成行向量组的形式，PA意味着对A做了一次初等行变换;同理，AP意味着对A做了一次初等列变换，故左乘对应行变换，右乘对应列变换。

　　若AB=E，则称A为可逆矩阵，B是A的逆阵，同样，这时的B也是可逆矩阵，注意可逆矩阵一定是方阵。

　　第一种求逆阵的方法：伴随阵。这种方法的理论依据是行列式的按行(列)展开。

　　矩阵可逆，行列式不为零，行(列)向量组线性无关，满秩，要注意这些结论之间的充分必要性。

　　单位阵和初等矩阵都是可逆的。

　　若矩阵可逆，则一定可以通过初等变换化为单位阵，这是不难理解的，因为初等矩阵满秩，故比较后化成的阶梯型(比较简形)中非零行数目等于行数，主元数目等于列数，这即是单位阵。进一步，既然可逆矩阵可以通过初等变换化为单位阵，而初等变换对应的是初等矩阵，即意味着：可逆矩阵可以通过左(右)乘一系列初等矩阵化为单位阵，换言之可逆矩阵可看作是一系列初等矩阵的乘积，因为单位阵在乘积中可略去。

　　可逆矩阵作为因子不会改变被乘(无论左乘右乘)的矩阵的秩。

　　由于可逆矩阵可以看作是一系列初等矩阵的乘积，可以想象，同样的这一系列初等矩阵作用在单位阵上，结果是将这个单位阵变为原来矩阵的逆阵，由此引出求逆阵的第二种方法：初等变换。需要注意的是这个过程中不能混用行列变换，且同样是左乘对应行变换，右乘对应列变换。

　　矩阵分块，即可把矩阵中的某些行和列的元素看作一个整体，对这些被看作是整体的对象构成的新的矩阵，运算法则仍然适用。将矩阵看成一些列行向量组或列向量组的形式，实际也就是一种比较常见的对矩阵进行分块的方式。