考研数学矩阵乘法复习指导

  尽管矩阵乘法不满足交换律。但是，矩阵乘法在多方面的成功应用，令人感到很惬意。
    
    1.若A，B都是n阶方阵，则|AB|=|A||B|。
    
    我们知道，|A+B|难解。相比之下，乘积算法复杂得多，而积矩阵行列式公式却如此简明，自然显示了矩阵乘法之成功。
    
    特别地，如果AB=BA=E，则称B是A的逆阵；或说A与B互逆。
    
    A*是A的代数余子式按行顺序转置排列成的。之所以这样做，就是恰好有(基本恒等式)AA*=A*A=|A|E，顺便有|A|≠0时，|AA*|=||A|E|，故|A*|=|A|的n－1次方。
    
    2.对矩阵实施三类初等变换，可以通过三类初等阵分别与矩阵相乘来实现。“左乘行变，右乘列变。”给理论讨论及应用计算机带来很大的方便。
    
    3.分块矩阵乘法，形式多样，内函丰富。
    
    要分块矩阵乘法可行，必须要在“宏观”与“微观”两方面都确保可乘。
    
    AB=A(b1，b2，——，bs)=(Ab1，Ab2，——，Abs)
    
    宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数规则(1×1)(1×s)=(1×s).
    
    微观可乘：相乘的子块都满足阶数规则。(m×n)(n×1)=(m×1)，具体如，Ab1是一个列向量
    
    AB=0的基本推理
    
    AB=0,即(Ab1，Ab2，——，Abs)=(0，0，——，0)
    
    →B的每一个列向量都是方程组Ax=0的解。
    
    →B的列向量组可以被方程组Ax=0的基础解系线性表示。
    
    →r(B)≤方程组Ax=0的解集的秩=n－r(A)→r(B)+r(A)≤n.
    
    例：已知(n维)列向量组a1，a2，——，ak线性无关，A是m×n阶矩阵，且秩r(A)=n，试证明，Aa1，Aa2，——，Aak线性无关
    
    分析设有一组数c1，c2，——，ck，使得c1Aa1+c2Aa2+——+ckAak=0.
    
    即A(c1a1+c2a2+——+ckak)=0.
    
    这说明c1a1+c2a2+——+ckak是方程组Ax=0的解。
    
    但是，方程组Ax=0的解集的秩=n－r(A)=0，方程组Ax=0仅有0解。
    
    故c1a1+c2a2+——+ckak=0由已知线性无关性得常数皆为0.