说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如果考生的解法
与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；如果后继部分的解
答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。第（1）－第（10）题每小题4分，第（11）－（14）
题每小题5分，满分60分。
（1） C （2〕A （3〕A （4） C （5）B
（6）B （7）D （8） A （9）C （10）D
（11）B （12）D （13）D （14）C
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分
（15）1/2
（16）12
（17）[9,+∞]
（18）m⊥a, n⊥β, a⊥β==>m⊥n 或m⊥n, m⊥a,
m⊥β==>a⊥β
三．解答题
（19）本小题主要考查对数函数的性质，对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类
论的思想，满分10分
解：原不等式等价于
——一一一一4
由①得 logax≥2/3
由②得 logax<3/4, 或logax>1,
由③得 logax>1/2.
由此得 2/3≤logax<3/4,或logax>1.——一一一一8分
当a>1时得所求的解是 {x|
≤x<
}U{x|x>a};
当0<a<1时得所求的解集是：
{x|<x≤}U{x|0<x<a}.——一一一一10分
（20）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数
学知识解决问题的能力，满分12分。
解：由0＜ θ＜π/ 2 得tgθ ＞0。
由z=3cosθ+i·2sinθ,得0＜argz＜π/2及tg(argz)=2sinθ/3cosθ=2/3tgθ.
故tgy=tg(θ-argz)=(tgθ-2/3tgθ)/(1+2/3tg2θ)
=1/(3/tgθ+2tgθ)
∵3/tgθ+2tgθ≥2
∴1/(3/tgθ+2tgθ)≤/12.
当且仅当3/tgθ=2tgθ(0<θ<π/2时，即tgθ=/2时，上式取等号。
所以当θ=arctg/2时，函数tgy取最大值/12。
由y=-argθz得y ∈(- π/2,π/2).由于在（-π/2, π/2)内因正切函数是递增函数，函数y也
取最大值arctg/12. 12分
( 21）本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念
思维能力、空间想象能力及运算能力。满分12分。
（1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。
∵底面ABCD是正方形
∴DO⊥AC。
又∵ED⊥底面AC，
∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角， －－－－2分
∴ ∠EOD＝45°。
DO＝(2)1/2/2a, AC=(2)1/2a, Eo=[(2)1/2a·sec45°]/2=a.
故 S△EAC=(2)1/2×a2/2 4分 |
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（II）解：由题设ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，
A1A⊥AC。
又 A1A⊥A1B1，
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。
－－－－6分
∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO，
∴ D1B∥EO。
又 O是DB的中点，
∴E是D1D的中点， D1B＝2ED＝2a。
异面直线A1B1与AC间的距离为(2)1/2a。
－－－－8分
(III)解法一：如图，连结D1B1。
∵D1D＝DB＝(2)1/2a，
∴BDD1B1是正方形。
连结B1D交D1B于P，交EO于Q。
∵B1D⊥D1B。 EO∥D1B，
∴B1D⊥EO
又 AC⊥EO， AC⊥ED，
∴AC⊥面BDD1B1
∴B1D⊥AC
∴B1D⊥面EAC。
∴B1Q是三棱锥B1－EAC的高。
－－－－10分
由DQ＝PQ，得B1Q＝3B1D/4＝3a/2。
∴VB1－EAC＝(1/3)·[(2)1/2a2/2]·(3/20=(2)1/2·a3/4.
所以三棱锥了－EAC的体积是(2)1/2·a3/4.
－－－－12分
解法二：连结B1O，则VB1－EAC＝2VA－EOB1。
∵AO⊥面BDD1B1，
∴AO是三棱锥A－EOB1的高，AO＝(2)1/2·a/2
在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点（如右图），
则S△EOB1=3a2/4.
∴VB1-EAC=2×(1/30×(3a2/4)×[(2)1/2a/2}=(2)1/2·a3/4.
所以三棱锥B1－EAC的体积是(2)1/2·a3/4.－－－－12分。 |
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（22）本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题
的能力，满分14分。
（I）解：厚度为a的带钢经过减薄率均为ro的n对轧辊后厚度为a(1-ro)n.
为使出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
a(1-ro)n≤β，
即 (1-ro)n≤β/a －－－－4分
由于(1-ro)n>O, β/a>0,对上式两端取对数，得
nlg(l-ro)≤lg(β/a).
由于lg(1-ro)<0,
所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-ro)].
因此，至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]的整数对轧辊
－－－－7分
（II）解法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为
1600a×(1-r)k×宽度 （其中r＝20％），
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
Lk×a(1-r)4×宽度。
因宽度相等，且无损耗，由体积相等得
1600·a(1-r)k=Lk·a(1-k)4(r=20%),
即 Lk=1600·0.8K-4. －－－－10分
由此得 l3=2000(mm),
l2=2500(mm),
l1=3125mm)
填表如下：
| 轧辊序号K |
1 |
2 |
3 |
4 |
| 疵点间距LK（mm） |
3125 |
2500 |
2000 |
1600 |
－－－－14分
解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点
间带钢体积相等，因宽度不变，有：
1600=L3·(1-0.2),
所以 L3=1600/0.8=2000(mm). －－－－10分
同理 L2=L3/0.8=2500(mm).
L1=L2/0.8=3125(mm).
填表如下：
| 轧辊序号K |
1 |
2 |
3 |
4 |
| 疵点间距LK（mm） |
3125 |
2500 |
2000 |
1600 |
－－－－14分
( 23）本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综
合的能力。满分14分。
（1）解：依题意f(0) =0，又由f(x1)=1, 当0≤y≤1时，，函数y＝f(x)的图象是斜
率为b0=1的线段，故由
f(x1)-f(0)/x1-0=1 得x1=1 2分
又由f(x2)=2,当1≤y＜2时，函数y=f(x)的图象是斜率为B的线段，故由
f(x2)-f(x1)/X2-X1=b 即x2=1+1/b．2分
记x0=0,由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1，故得
f(xn) -f(xn-1)/xn-xn-1=bn-1,
又f(xn)=n,f(xn-1)=n一1；
∴xn-xn-1 =(1/b)n-1,n=1,2,…。
由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为1/b，公比为1/b
因 b≠1，得
xn=
(xK-XK-1)
=1+1/b …+1/bn-1=b-(1/b)n-1，
即 xn=b-(1/b)n-1/(b-1).——一一6分
(II)解：当0≤y≤1，从（I）可知y＝x, 即当0≤x≤1时，f(x)=x
当n≤y≤n十1时，即当xn≤x≤xn+1时，由(I)可知
f(x)=n+bn(x-xn)(xn≤x≤xn+1,n=1,2,3…）——一一8分
为求函数f(x)的定义域，须对xn=b-(1/b)n-1/(b-1)(n=1,2,3…)进行讨论
当b＞1时,
xn= b-(1/b)n-1/(b-1)=b/(b-1)
当0＜b＜1时，n→∞，xn也趋向于无穷大。
综上，当b>1时，y=f(x)的定义域为[0,b/(b-1));
当0＜b＜1时，y＝f（x）的定义域为[0,+∞] ——一一10分
（24）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合
运用数学知识解决问题的能力。满分14分。
解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y＝0和y＝－bx，
设点C（x,y），则有0≤x<a,由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等，根据点到直线
的距离公式得
|y|=|y+bx|/
① －－－－4分
依题设，点C在直线AB上，故有
y=[-b/(1+a)](x-a). －－－－6分
由 x-a≠0，得b=-(1+a)y/(x-a). ②
将②式代入①式得
y2[1+(1+a)2y2/(x-a)2]=[y-(1+a)xy/x-a]2,
整理得
y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0. －－－－9分
若y≠0，则(1-a)x2-2as+(1+a)y2=0(0<x<a);
若y=0,则 b=0,∠AOB＝π，点C的坐标为（0，0），满足上式，
综上得点C的轨迹方程为
(1-a)a2-2ax+(1+A)y2=0(0≠x<a), －－－－10分
∵a≠1,
∴[x-a/(1-a)]2/[a/(1-a)]2+y2/[a2/(1-a2)]=1(0≤x<a). ③ －－－－12分
由此知，当〔」「工时，方程③ 表示椭圆孤段；
当a>1时，方程③ 表示双曲线一支的弧段。
－－－－14分
解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足。
（1）当|BD|≠0时，设点C（x,y），则0<x<a y≠0.
由CE∥BD得 |BD|=|CE|·|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a).
－－－－3分
∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,
∴2∠COA=π-∠BOD，
∵ tg(2COA)=2tg∠COA/(1-tg2∠COA), tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,
tg∠COA=|y|/x, tg∠BOD = ∠|BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a).
∴[2·|y|/x]/[1-(y2/x2)]=[|y|/(a-x)](1+a),
整理得 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a).
(II) 当|BD|=0时，∠BOA＝π，则点C的坐标为（0，0），满足上式。
综合（I）（II），得点C的轨迹方程为
（1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a) －－－－10分
以下同解法一。