第Ⅰ卷(选择题共65分)

注意事项:

　　1.答案Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

　　2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在

选涂其它答案,不能答在试题卷上.

　　3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.

一.选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个

　  选项中,只有一项是符合题目要求的.

　(1)设全集I=｛1,2,3,4,5,6,7｝,集合A=｛1,3,5,7｝,B=｛3,5｝.则

　　　(A)I=A∪B　　　　　 　　　(B)I=∪B

　　　(C)I=A∪　　　　　　　　(D)I=∪

　(2)当a>1时,在同一坐标系中.函数y=a-x与y=logax的图象是

　　　

　(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是

　　　(A){x|2kπ-3π/4<x<2kπ+π/4,k∈Z}

　　　(B){x|2kπ+π/4<x<2kπ+5π/4,k∈Z}

　　　(C){x|kπ-π/4<x<kπ+π/4,k∈Z}

　　　(D){x|kπ+3π/4<x<kπ+3π/4,k∈Z}

　(4)复数(2+2i)⁴/(1-i)⁵等于

　　　(A)1+i    　　(B)-1+i     　(C)1-i     　　(D)-1-i   

　(5)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有

　　　(A)720种    　　(B)360种    　　(C)240种    　　(D)120种

　(6)已知α是第三象限角且sinα=-24/25,则tgα=

　　　(A)4/3   　　　  (B)3/4　　　　(C)-3/4 　　　  (D)-4/3

　(7)如果直线l、m 与平面α、β、γ满足l=β∩γ，l∥α，m =α，m⊥γ，那么必有 

　　　(A)α⊥γ且l⊥m　　　　　　 　(B)α⊥γ且m∥β

　　　(C)m∥β且l⊥m　　　　　　　  (D)α∥β且α⊥γ

　(8)当-π/2≤x≤π/2时，函数f(x)＝sinx+cosx的

　　　(A)最大值是1,最小值是-1       　(B)最大值是1,最小值是-1/2

　　　(C)最大值是2,最小值是-2    　   (D)最大值是2,最小值是-1

　(9)中心在原点，准线方程为x=±4，离心率为1/2的椭圆方程是

　　　(A)x²/4+y²/3=1           　　　　(B)x²/3+y²/4=1

　　　(C)x²/4+y²=1          　　　　　 (D)x²+y²/4=1

　(10)圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为240°,该圆锥的体积是

　　　(A)2π/81　　(B)4π/81　(C)10π/81　(D)8π/81

　(11)椭圆25x2-150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是

     　(A)(-3,5),(-3,-3)     　　　　    (B)(3,3),(3,-5)

     　(C)(1,1),(-7,1)          　　　　 (D)(7,-1),(-1,-1)

　(12)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为
     　
     　(A)a³/6   　　　(B)a³/12　　　    (C)a³/12　　(D)a³/12

　(13)等差数列｛an｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为

     　(A)130               (B)170　　　　　(C)210            (D)260

　(14)设双曲线x²/a²+y²/b²=1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线的距

　　　离为c/4，则双曲线的离心率为

     　(A)2             　　(B)　　　　　(C)             (D)2/3

　(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7,5)等于

     　(A)0.5                           　　　　　(B)-0.5

     　(C)1.5                           　　　　　(D)-1.5



                                                       第Ⅱ卷(非选择题共85分)

注意事项:

        1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.

        2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

　(16)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p=______.

　(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有______个.(用数字作答)

　(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的

　　　余弦值是______ .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(20)(本小题满分11分)

     解不等式loga(x+1-a)>1.

(21)(本小题满分12分)

     设等比数列｛an｝的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9,求数列的公比q.


(22)(本小题满分11分)

　已知三角形ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,1/cosA+1/cosC=－/cosB,求cos{(A-C)/2}.

(23)(本小题满分12分)

  【注意:本题的要求是,参照标号①的写法,在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤,完成(Ⅰ)

     证明的全过程;并解答(Ⅱ).】

　如图：在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AB=AA₁/3=a,E,F分别是BB₁,CC₁上的点,且BE=a,CF=2a.

    (Ⅰ)求证:面AEF⊥面ACF;

    (Ⅱ)求三棱锥A1-AEF的体积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

    (Ⅰ)证明:

    ①   ∵BE=a,CF=2a,BE∥CF,延长FE与CB延长线交于D,连结AD.

            ∴△DBE∽△DCF

　　　________________________________________________

    ②   ∴DB/DC=BE/CF

　　　________________________________________________


    ③   ∴DB=AB.

　　　________________________________________________


    ④   ∴DA⊥AC.

　　　________________________________________________


    ⑤   ∴FA⊥AD.

　　　________________________________________________


           ∴面AEF⊥面ACF.
       　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

   (Ⅱ)解:


(24)(本小题满分10分)

   某地现有耕地10000公顷.规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果

   人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?

　　(粮食单产＝总产量/耕地面积，人均粮食占有量＝总产量/总人口数)

(25)(本小题满分12分)

　已知l₁、l₂是过点p的两条互相垂直的直线,且l₁、l₂与双曲线y²－x²=1各有两个交点,分别为A1、B1

　和A2、B2.

   (Ⅰ)求l₁的斜率k₁的取值范围;

   (Ⅱ)若A1恰是双曲线的一个顶点,求│A₂B₂│的值.


1996年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(文史类)参考解答及评分标准

说明:

    一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的

解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

    二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难

度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部

分的解答有较严重的错误,就不再给分.

    三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

    四.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分.

满分65分.

     (1)C    (2)A    (3)D    (4)B     (5)C

     (6)D    (7)A    (8)D    (9)A     (10)C

     (11)B    (12)D    (13)C    (14)A     (15)B

二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

　(16)4    (17)32    (18)    (19)/4    

三.解答题

(20)本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力,满分11分.

        解:(Ⅰ)当a>1时,原不等式等价于不等式组:

　　　　　

       　　　解得    x>2a-1.   　　 5分

            (Ⅱ)当0<a<1时,原不等式等价于不等式组:

　　　　　　　　7分

       　　解得    a-1<x<2a-1.    　10分

       　　综上，当a>1时,不等式的解集为｛x│x>2a-1｝;

      　　　　　当0<a<1时,不等式的解集为｛x│a-1<x<2a-1｝.    11分

(21)本小题主要考查等比数列的基础知识,逻辑推理能力和运算能力.满分12分.

       解:若q=1,则有S₃=3a₁,S₆=6a₁,S₉=9a₁.但a₁≠0,即得S₃+S₆≠2S₉,与题设矛盾,故q≠1.     2分

       　　又依题意S₃+S₆=2S₉可得

　　　　a₁(1-q³)/(1-q)+a₁(1-q⁶)/(1-q)=2a₁(1-q⁹)/(1-q)

       　　整理得q³(2q⁶-q³-1)=0.

       　　由q≠0得方程    2q⁶-q³-1=0.

      　　(2q³+1)(q³-1)=0,    9分

      　　 ∵    q≠1,q³-1≠0,   

      　　 ∴　2q³+1=0,

　　　  ∴　 q=-/2

(22)本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算能力.满分12分.

        解法一:由题设条件知B=60°,A+C=120°.    2分

　　　　　 ∵   －/cos60°=－2

　　　　　 ∴　1/cosA+1/cosC=－2

　　　　　将上式化为　cosA+cosC=－2cosAcosC

        　　　利用和差化积及积化和差公式,上式可化为

　　　　　2cos{(A+C)/2}cos{(A-C)/2}=－{cos(A+C)+cos(A-C)}　　  6分

　　　　　

　　　　　　
　　　　　　　代入上式并整理得

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　

　　    　　∴　

        解法二:由题设条件知    B=60°,A+C=120°.

　　　　　设α=A-C/2　则A-C=2α,　可得A=60°+α, C=60°-α    3分

　　　　　所以　

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

　　　　　　　　依题得

　　　　　　　　

　　　　　　

　　　　　

　　　　　
　　　　　  ∴　2cosα=0

　　　　　从而得：　


(23)本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.

       (Ⅰ)②∵BE:CF=1:2,

                  ∴DC=2DB,

                 ∴DB=BC,    1分

              ③∵△ABD是等腰三角形,

                  且∠ABD=120°,

                  ∴∠BAD=30°,

                  ∴∠CAD=90°,    3分

              ④∵FC⊥面ACD,

                  ∴CA是FA在面ACD上的射影,

                  且CA⊥AD,    5分

              ⑤∵FA∩AC=A,

　　　　　DA⊥面ACF，DA面ADF　　
　　
                 ∴面ADF⊥面ACF.    7分

         (Ⅱ)解:　∵V_A1-AEF=V_E-AA1F

　　　　　在面A1B1C1内作B₁G⊥A₁C₁,垂足为G.

　　　　　BG＝a/2

                 　面A₁B₁C₁⊥面A₁C,

　　　　　∴B₁G⊥面A₁C,

　　　　　∵E∈BB₁,而BB₁∥面A₁C,

　　　　　∴三棱柱的高为a/2　　9分

　　　　　S_△AA1F=AA1·AC/2=a²/2　10分

　　　　　∴V_A1-AEF=V_E-AA1F=a⁴/4　12分


(24)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近似

        计算的方法和能力.满分10分.

        解:设耕地平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为p人,粮食单产为M吨／公顷.

               依题意得不等式

　　　　M(1+22%)(10^4--10x)/P(1+10%)¹⁰≥M·10⁴·(1+10%)/P

　　　　化简得x≤　

　　　　

　　　　∴x≤4(公顷)

　　　　 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.    10分

(25)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.

　　解：依题设：l₁、l₂都存在，因为l₁过点p 且与双曲线有两个交点,故方程组

　　　　　　　①　　1分
　　　
　　　　有两个不同的解,在方程组①中消去y, 整理得

　　　　(k₁²-1)x²+2k₁²x+2k₁²-1=0　②

　　　　若(k₁²-1)＝0,则方程①只有一个解，则l₁与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.故(k₁²-1)≠0，

　　　　｜k₁｜＝1.方程②的判别式为△₁=(2k₁²)²-4(k₁²-1)(2k₁²-1)=4(3k₁²-1)

　　　　设l₂的斜率为k₂ ,因为l₂过点p 且与双曲线有两个交点,故方程组

     　　　　　③

　　　　有两个不同的解,在方程组①中消去y, 整理得

　　　　(k₂²-1)x²+2k₂²x+2k₂²-1=0　④

　　　　同理有(k₂²-1)≠0,　△₂=4(3k₂²-1)

　　　　又因为l1⊥l2,所以有k₁·k₂=-1    4分

         　　于是,l1、l2与双曲线各有两个交点,等价于

　　　　

　　　　解得　　6分

　　　　∴　k₁∈(-,-1)∪(-1,-/3)∪(-/3,1)∪(1,)　　7分

       　 (Ⅱ)双曲线y2-x2=1的顶点为(0,1)、(0,-1).取A1(0,1)时,有

　　　　　k₁(0+)=1,　解得k₁＝/2.　从而k₂＝－/k₁=-.　8分

　　　　　将k₂=-代入方程④得　x²+4x+3=0　⑤

        　　　记l₂与双曲线的两交点为A₂(x₁,y₁)、B₂(x₂,y₂),则

       　　　│A₂B₂│² =(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=3(x₁-x₂)2=3[(x₁+x₂)²-4x₁x₂].

　　　　　由⑤知x₁+x₂=－4　x₁x₂＝3　

　　　　　∴　│A₂B₂│² ＝60，│A₂B₂│＝2　　　11分

        　　　当取A1(0,-1)时,由双曲线y2-x2=1关于x轴的对称性,知　│A₂B₂│＝2　

　　　　　所以l₁过双曲线的一个顶点时，│A₂B₂│＝2　　12分

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