[精华]2005年北京市高考数学（新课程卷）备考建议
2005-01-06 16:19:38
来源：中国招生考试论坛
（一） 2005年北京市高考数学新课程卷命题趋势预测
（1）五年来（2000年—2004年）其它省市新课程中新增内容与高考试题的关系：为了支持课程改革，促进新增加内容的教学，检查考生对新内容的掌握程度，这些新内容在新课程试卷中都有涉及。新课程改革增加的新内容的考查形式和要求已经发生了变化，向量、导数已经由2001、2002年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题是不可缺少的工具。在新课程试题中，有些题目属于新教材与旧教材的结合部，在高考命题时采用新旧结合的办法。如函数的单调性问题既可以用定义求解也可以用求导求解。另外，函数、不等式、平面向量、圆锥曲线、概率、直线、平面、简单几何体、数列极限和导数正在成为高考的新重点。笔者认为上述情况将会对2005年北京市高考数学新课程卷的命制产生一定的影响。
（2）北京市2004年高考数学试题与2003年高考数学试题的难度相当，但压轴题的难度有所下降，由此可以推测：北京卷高考命题组在吸取了2002年出题过难的教训的基础上将会把2005年试题的难度系数维持在2003年试题的水平上以保证高考试题的连续性和稳定性。另外又由于新课程内容的考查要求不会太高，新旧内容结合部的解题方法多种多样，甚至有的题目考生可以自主选择（如立体几何部分）。所以我们有理由相信2005年试题的难度不会太大。
（3）由于2005年是北京市自主命制新课程卷的第一年，所以步伐不会过大。此外，2004年北京市西城区高二第二学期期末考试的立体几何试题也从另一个侧面反映出今后高考（北京卷）立体几何部分的出题方式:设置传统立体几何和空间向量两道试题,让考生自己任选其中一道作答。
（4）进一步改进对研究性学习课题、实习作业、数学实验（如2002年高考数学北京卷第16题）的考查方式。
（5）鉴于2004年高考理科综合（北京卷）考试说明在名称上发生的变化，笔者认为：2005高考数学（北京卷）考试说明的名称将改为2005年高考数学（北京卷）考试大纲，当然，这将不仅仅是名称上的改变，它更向考生提供了一个信息：今后的考试将会严格恪守考试大纲的要求，使考生有章可循，把“以纲为纲”落到实处，而不会再像以往那样出题不着边际，打着“不拘泥于大纲”的幌子，随兴所至，置考试说明于不顾。
（6）2002年北京市高考数学的压轴题取材于2002年广州市的模拟试题，甚至2002年北京市高考语文的作文的话题都与2001年山东某市模拟试题的作文的话题完全一样，由此可见，北京市自主命题时并不排斥其它省市命题的先进成果。并且2005年北京市高考数学又将采取新课程卷，而命题人却又缺乏经验，故不难想到：使用新教材的省市的高考真题及模拟题将成为北京市高考数学新课程卷中新增知识内容命制的范本。所以笔者就新增知识内容的考试内容和要求，结合使用新教材的省市的高考真题及模拟题，给出2005年北京市高考数学的题型示例：
12.概率与统计
考试内容
离散型随机变量的分布列。离散型随机变量的期望值和方差。
抽样方法。总体分布的估计。正态分布。线性回归。
考试要求
（1）了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。
（2）了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
（3）会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。
（4）会用样本频率分布去估计总体分布。（5）了解正态分布的意义及主要性质。
（6）了解线性回归的方法和简单应用。
题型示例：（1）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为
ξ 0 1 2
P
（2）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
(I) 求所选3人都是男生的概率；
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.
13.极限
考试内容
数学归纳法。数学归纳法应用举例。
数列的极限。
函数的极限。极限的四则运算。函数的连续性。
考试要求
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
（2）了解数列极限和函数极限的概念（由于此知识点尚属命题的空白，故预计2005年会加以考查）。
（3）掌握极限的四则运算法则。会求某些数列与函数的极限。
（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。
题型示例：（1） ＝
A. B.1 C. D.
(x≠0)，
（2）设函数f(x)= a (x=0). 在x=0处连续，则实数a的值为 .
14.导数
考试内容
导数的概念。导数的几何意义。几种常见函数的导数。
两个函数的和、差、积、商的导数。复合函数的导数。基本导数公式。
利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。
考试要求
（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。（2）熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
题型示例：（1）已知函数 ，其中C是实数，
（I）求f(x)的极大值和极小值；
（II）证明方程f(x)=0的不同实根的个数不大于3个.
【解】（I）
函数f(x)的变化情况如下表所示：
x (－∞，－1) －1 （－1，1） 1 （1，+∞）
+ 0 － 0 +
f(x) c+4 c－4
（II）用反证法，若方程f(x)=0的不同实根多于3个，则至少可找到四个不同的实数
根据微分中值定理应有 由① 式及x2>x1，知 =0，这表明 =0在区间（x1 ，x2）中至少有一个实根Q1，同理f(x)=0在区间(x2,x3), (x3,x4)中分别有实根Q2，Q3，且Q1〈Q2〈Q3，即 =0至少有三个不同的实根.这与（I）的结果矛盾. ∴f(x)=0的不同实根的个数不多于3个.
（1）五年来（2000年—2004年）其它省市新课程中新增内容与高考试题的关系：为了支持课程改革，促进新增加内容的教学，检查考生对新内容的掌握程度，这些新内容在新课程试卷中都有涉及。新课程改革增加的新内容的考查形式和要求已经发生了变化，向量、导数已经由2001、2002年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题是不可缺少的工具。在新课程试题中，有些题目属于新教材与旧教材的结合部，在高考命题时采用新旧结合的办法。如函数的单调性问题既可以用定义求解也可以用求导求解。另外，函数、不等式、平面向量、圆锥曲线、概率、直线、平面、简单几何体、数列极限和导数正在成为高考的新重点。笔者认为上述情况将会对2005年北京市高考数学新课程卷的命制产生一定的影响。
（2）北京市2004年高考数学试题与2003年高考数学试题的难度相当，但压轴题的难度有所下降，由此可以推测：北京卷高考命题组在吸取了2002年出题过难的教训的基础上将会把2005年试题的难度系数维持在2003年试题的水平上以保证高考试题的连续性和稳定性。另外又由于新课程内容的考查要求不会太高，新旧内容结合部的解题方法多种多样，甚至有的题目考生可以自主选择（如立体几何部分）。所以我们有理由相信2005年试题的难度不会太大。
（3）由于2005年是北京市自主命制新课程卷的第一年，所以步伐不会过大。此外，2004年北京市西城区高二第二学期期末考试的立体几何试题也从另一个侧面反映出今后高考（北京卷）立体几何部分的出题方式:设置传统立体几何和空间向量两道试题,让考生自己任选其中一道作答。
（4）进一步改进对研究性学习课题、实习作业、数学实验（如2002年高考数学北京卷第16题）的考查方式。
（5）鉴于2004年高考理科综合（北京卷）考试说明在名称上发生的变化，笔者认为：2005高考数学（北京卷）考试说明的名称将改为2005年高考数学（北京卷）考试大纲，当然，这将不仅仅是名称上的改变，它更向考生提供了一个信息：今后的考试将会严格恪守考试大纲的要求，使考生有章可循，把“以纲为纲”落到实处，而不会再像以往那样出题不着边际，打着“不拘泥于大纲”的幌子，随兴所至，置考试说明于不顾。
（6）2002年北京市高考数学的压轴题取材于2002年广州市的模拟试题，甚至2002年北京市高考语文的作文的话题都与2001年山东某市模拟试题的作文的话题完全一样，由此可见，北京市自主命题时并不排斥其它省市命题的先进成果。并且2005年北京市高考数学又将采取新课程卷，而命题人却又缺乏经验，故不难想到：使用新教材的省市的高考真题及模拟题将成为北京市高考数学新课程卷中新增知识内容命制的范本。所以笔者就新增知识内容的考试内容和要求，结合使用新教材的省市的高考真题及模拟题，给出2005年北京市高考数学的题型示例：
12.概率与统计
考试内容
离散型随机变量的分布列。离散型随机变量的期望值和方差。
抽样方法。总体分布的估计。正态分布。线性回归。
考试要求
（1）了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。
（2）了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
（3）会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。
（4）会用样本频率分布去估计总体分布。（5）了解正态分布的意义及主要性质。
（6）了解线性回归的方法和简单应用。
题型示例：（1）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为
ξ 0 1 2
P
（2）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
(I) 求所选3人都是男生的概率；
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.
13.极限
考试内容
数学归纳法。数学归纳法应用举例。
数列的极限。
函数的极限。极限的四则运算。函数的连续性。
考试要求
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
（2）了解数列极限和函数极限的概念（由于此知识点尚属命题的空白，故预计2005年会加以考查）。
（3）掌握极限的四则运算法则。会求某些数列与函数的极限。
（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。
题型示例：（1） ＝
A. B.1 C. D.
(x≠0)，
（2）设函数f(x)= a (x=0). 在x=0处连续，则实数a的值为 .
14.导数
考试内容
导数的概念。导数的几何意义。几种常见函数的导数。
两个函数的和、差、积、商的导数。复合函数的导数。基本导数公式。
利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。
考试要求
（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。（2）熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
题型示例：（1）已知函数 ，其中C是实数，
（I）求f(x)的极大值和极小值；
（II）证明方程f(x)=0的不同实根的个数不大于3个.
【解】（I）
函数f(x)的变化情况如下表所示：
x (－∞，－1) －1 （－1，1） 1 （1，+∞）
+ 0 － 0 +
f(x) c+4 c－4
（II）用反证法，若方程f(x)=0的不同实根多于3个，则至少可找到四个不同的实数
根据微分中值定理应有 由① 式及x2>x1，知 =0，这表明 =0在区间（x1 ，x2）中至少有一个实根Q1，同理f(x)=0在区间(x2,x3), (x3,x4)中分别有实根Q2，Q3，且Q1〈Q2〈Q3，即 =0至少有三个不同的实根.这与（I）的结果矛盾. ∴f(x)=0的不同实根的个数不多于3个.
(责任编辑：yuxue)
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