高二数学学习方法：高二数学全国联赛试题
一、选择题(每小题6分，共36分)
给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，
设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，...，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，...，
则数列{bn}( )
(A)是等差数列
(B)是公比为q的等比数列
(C)是公比为q3的等比数列
(D)既不是等差数列也不是等比数列
平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，
那么，满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )
(A)16 (B)17 (C)18 (D)25
若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,则( )
(A)x-y≥0 (B)x+y≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤0
给定下列两个关于异面直线的命题：
命题I：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交;
命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么，()
(A)命题I正确，命题II不正确
(B)命题II正确，命题I不正确
(C)两个命题都正确
(D)两个命题都不正确
在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形
(C)直角三角形 (D)答案不确定
二、填空题(每小题9分，共54分)
已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，
那么，这样的n的个数是____。
已知θ=arctg(5/12)，那么，复数 z=(cos2θ +isin2θ )/(239+i)的辐角主值是____。
在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，
则ctg C / (ctgA+ctgB)=____。
已知点P在双曲线x2/16-y2/9=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P点的横坐标是____。
已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，
并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是____。
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的投影H是△SBC的垂心，
二面角H-AB-C的平面角等于30o，SA=2√3。那么三棱锥S-ABC的体积为____。
三、(20分)
已知当x∈[0,1]时，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0恒成立，
试求θ的取值范围。
四、(20分)
给定A(-2,2)，已知B是椭圆x2/25+y2/16=1上的动点，F是左焦点，
当|AB| + (5/3)|BF|取最小值时，求B的坐标。
五、(20分)
给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1,a2,a3,...,
试求S=an+1+an+2+...+a2n+1的最大值。
加试
一、(50分)
在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD;
在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。
求证：∠GAC=∠EAC。
二、(50分)
给定实数a,b,c，已知复数z1,z2,z3满足：
|
{ |
|z1|=|z2|=|z3|=1 |
|||||
|
z1 |
+ |
z2 |
+ |
z3 |
=1 |
|
|
z2 |
z3 |
z1 |
||||
求|az1+bz2+cz3|的值。
三、(50分)
给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。
(1)求k的最小值f(n);
(2)当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结论。
(责任编辑：彭海芝)
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