2016年高考数学专项练习及答案(8)
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一、非标准
1.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,求直线l被圆C截得的弦长.
2.在平面直角坐标系xOy中,若l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,求常数a的值.
3.在极坐标系中,求圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=(ρR)的距离.
4.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标.
5.(2014江苏,21)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.
6.(2014课标全国,文23)已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
7.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线l的极坐标方程.
8.在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,直线l的参数方程是(t为参数),M,N分别为曲线C,直线l上的动点,求|MN|的最小值.
9.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点,若AOB是等边三角形,求a的值.
10.(2014课标全国,文23)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标. 1.解:由题意得直线l的方程为x-y-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4.
则圆心到直线的距离d=,
故弦长=2=2.
2.解:x=t,且y=t-a,消去t,得直线l的方程y=x-a.
又x=3cosφ且y=2sinφ,消去φ,
得椭圆方程=1,右顶点为(3,0),
依题意0=3-a,a=3.
3.解:将极坐标方程转化为直角坐标方程求解.极坐标系中的圆ρ=4sinθ化为平面直角坐标系中的一般方程为x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,其圆心为(0,2),直线θ=化为平面直角坐标系中的方程为y=x,即x-3y=0.
圆心(0,2)到直线x-3y=0的距离为.
4.解:ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1.
联立方程
解得
即两曲线的交点为(-1,1).
又0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为.
5.解:将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,
得=4.
解得t1=0,t2=-8.
所以AB=|t1-t2|=8.
6.解: (1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|,则|PA|=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
7.解:由题意得曲线C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
又|AB|=2,故直线l过曲线C的圆心(2,1),则直线方程为y-1=x-2,
即x-y-1=0,故直线l的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=1.
8.解:化极坐标方程ρ=4cosθ为直角坐标方程x2+y2-4x=0,所以曲线C是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.
化参数方程 (t为参数)为普通方程x-y+3=0.
圆心到直线l的距离d=,此时,直线与圆相离,
所以|MN|的最小值为-2=.
9.解:由ρ=4sinθ可得ρ2=4ρsinθ,
所以x2+y2=4y.
所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,其圆心为C(0,2),半径r=2;
由ρsinθ=a,得直线的直角坐标方程为y=a,由于AOB是等边三角形,所以圆心C是等边三角形OAB的中心,若设AB的中点为D(如图).
则CD=CB·sin30°=2×=1,即a-2=1,所以a=3.
10.解:(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为
(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD与l的斜率相同,tan t=,t=.
故D的直角坐标为
,即.
(责任编辑：卢雁明)
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